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Ejercicios

Lema 13.1(Topologia de munkres)

Sea X un espacio topológico y \mathcal{B} una base para la topología de X. Entonces, una colección \mathcal{C}de conjuntos en X es una base para la topología de X si y solo si \mathcal{C} es una subcolección de \mathcal{B}.

Solución

Primero debemos demostrar la implicación directa: si \mathcal{C} es una subcolección de \mathcal{B}, entonces \mathcal{C} es una base para la topología de X.

Supongamos que \mathcal{C} es una subcolección de \mathcal{B}. Para mostrar que \mathcal{C} es una base, debemos demostrar dos condiciones:

1. Cada conjunto en \mathcal{C} es un conjunto abierto en X:
– Tomemos un conjunto C \in \mathcal{C}. Como \mathcal{C} es una subcolección de \mathcal{B}, esto implica que C también es un conjunto en \mathcal{B}. Por lo tanto, C es un conjunto abierto en X según la definición de base.

2. Para cualquier conjunto abierto U en X y cualquier punto x en U, existe un conjunto C \in \mathcal{C} tal que x está contenido en C y C está contenido en U:
– Tomemos un conjunto abierto U en X y un punto x en U. Como \mathcal{B} es una base para la topología de X, podemos expresar U como una unión de elementos de \mathcal{B}: U = \bigcup_{\alpha} B_{\alpha}, donde cada B_{\alpha} es un conjunto en \mathcal{B}.
– Dado que x está en U, debe estar contenido en algún B_{\alpha}. Además, como \mathcal{C} es una subcolección de \mathcal{B}, B_{\alpha} también está en \mathcal{C}. Por lo tanto, hemos encontrado un conjunto C = B_{\alpha} en \mathcal{C} que contiene a x y está contenido en U.

Hemos demostrado que si \mathcal{C} es una subcolección de \mathcal{B}, entonces \mathcal{C} satisface las dos condiciones para ser una base para la topología de X.

Ahora, debemos demostrar la implicación inversa: si \mathcal{C} es una base para la topología de X, entonces \mathcal{C} es una subcolección de \mathcal{B}.

Supongamos que \mathcal{C} es una base para la topología de X. Para mostrar que \mathcal{C} es una subcolección de \mathcal{B}, debemos demostrar que cada conjunto en \mathcal{C} es un conjunto en \mathcal{B}.

Tomemos un conjunto C \in \mathcal{C}. Dado que \mathcal{C} es una base para la topología de X, para cada punto x en C y cada entorno abierto V de x, debe existir un conjunto C’ en \mathcal{C}

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Lema 13.2(Topologia de munkres)

Sea X un espacio topológico. Supongamos que \mathcal{C} es una colección de conjuntos abiertos de X tal que, para cada conjunto abierto U de X y cada x en U, existe un elemento C de \mathcal{C} tal que x \in C \subset U. Entonces \mathcal{C} es una base para la topología de X.

Solución

Para demostrar que \mathcal{C} es una base para la topología de X, debemos verificar dos condiciones:

1. Cada conjunto C en \mathcal{C} es un conjunto abierto en X:
Tomemos un conjunto C \in \mathcal{C}. Por hipótesis, se nos dice que \mathcal{C} está compuesto por conjuntos abiertos de X, por lo que C es un conjunto abierto.

2. Para cada conjunto abierto U en X y cada punto x en U, existe un conjunto C \in \mathcal{C} tal que x \in C \subset U:
Tomemos un conjunto abierto U en X y un punto x en U. Por hipótesis, se nos dice que para cada conjunto abierto V en X y cada punto y en V, existe un conjunto C \in \mathcal{C} tal que y \in C \subset V.
– Aplicando esto a U y x, encontramos un conjunto C \in \mathcal{C} tal que x \in C \subset U.

Hemos demostrado que \mathcal{C} cumple con las dos condiciones para ser una base para la topología de X. Por lo tanto, podemos concluir que \mathcal{C} es una base para la topología de X.

Espero que esta demostración sea clara y satisfaga tus necesidades. Si tienes alguna otra pregunta, no dudes en hacerla.

Lema 13.3(Topologia de munkres)

Solución