Las ecuaciones de una variable real son ecuaciones algebraicas que involucran una única variable real. Estas ecuaciones se expresan típicamente en la forma:
f(x) = 0 donde x es la variable y f(x) es una función que puede incluir términos algebraicos, funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, entre otras. A continuación, se presentan algunos ejemplos de ecuaciones de una variable real:
- Ecuación lineal: 2x + 3 = 0
- Ecuación cuadrática: x^2 – 4 = 0 .
- Ecuación cúbica: x^3 + 2x^2 – 5 = 0 .
- Ecuación exponencial: 2^x – 8 = 0 .
- Ecuación logarítmica: log(x) – 2 = 0 .
- Ecuación trigonométrica: \sin(x) – \cos(x) = 0
El objetivo al resolver una ecuación de una variable real es encontrar el valor o los valores de x que hacen que la ecuación sea verdadera. Esto se logra aplicando técnicas algebraicas y matemáticas, como despejar la variable, factorizar, utilizar propiedades de las funciones, entre otros métodos.
Es importante destacar que algunas ecuaciones pueden tener una solución única, múltiples soluciones o ninguna solución en el conjunto de los números reales, dependiendo de la naturaleza de la ecuación y de la función involucrada.
Resolver ecuaciones de una variable real es un tema fundamental en el álgebra y el análisis matemático, y tiene aplicaciones en diversas áreas como física, economía, ingeniería, entre otras disciplinas.
ejercicios de ecuaciones lineales
Recuerda que para resolver estas ecuaciones, debes realizar operaciones algebraicas para aislar la variable y encontrar su valor.
- 2x + 3 = 7
Para encontrar la solución de la ecuación 2x + 3 = 7, vamos a realizar los siguientes pasos:
1. Restamos 3 a ambos lados de la ecuación:
2x + 3 – 3 = 7 – 3
Esto nos da:
2x = 4
2. Dividimos ambos lados de la ecuación por 2 para despejar x:
(2x) / 2 = 4 / 2
Simplificando, obtenemos:
x = 2
Por lo tanto, la solución de la ecuación 2x + 3 = 7 es x = 2.
- -4y + 5 = 9
Para encontrar la solución de la ecuación -4y + 5 = 9, vamos a seguir los siguientes pasos:
1. Restamos 5 a ambos lados de la ecuación:
-4y + 5 – 5 = 9 – 5
Esto nos da:
-4y = 4
2. Dividimos ambos lados de la ecuación por -4 para despejar y:
(-4y) / -4 = 4 / -4
Simplificando, obtenemos:
y = -1
Por lo tanto, la solución de la ecuación -4y + 5 = 9 es y = -1.
- 3z – 2 = 10
Para encontrar la solución de la ecuación 3z – 2 = 10, vamos a seguir los siguientes pasos:
1. Sumamos 2 a ambos lados de la ecuación:
3z – 2 + 2 = 10 + 2
Esto nos da:
3z = 12
2. Dividimos ambos lados de la ecuación por 3 para despejar z:
(3z) / 3 = 12 / 3
Simplificando, obtenemos:
z = 4
Por lo tanto, la solución de la ecuación 3z – 2 = 10 es z = 4.
ejercicios de ecuaciones cuadráticas
- x^2 – 5x + 6 = 0
Para encontrar la solución de la ecuación cuadrática \(x^2 – 5x + 6 = 0\), podemos utilizar el método de factorización o la fórmula general.
Método de factorización:
1. Observamos los términos de la ecuación y buscamos dos números que sumen -5 y que al multiplicarse den 6. En este caso, los números son -2 y -3, ya que (-2) + (-3) = -5 y (-2) * (-3) = 6.
2. Escribimos la ecuación de la siguiente manera utilizando los números encontrados:
\(x^2 – 2x – 3x + 6 = 0\)
3. Agrupamos los términos y factorizamos por grupos comunes:
\(x(x – 2) – 3(x – 2) = 0\)
4. Observamos que los términos en paréntesis son iguales, por lo que podemos factorizarlos:
\((x – 2)(x – 3) = 0\)
5. Aplicamos la propiedad de anulación del producto y establecemos cada factor igual a cero:
\(x – 2 = 0\) o \(x – 3 = 0\)
6. Resolvemos las ecuaciones lineales resultantes:
\(x = 2\) o \(x = 3\)
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática \(x^2 – 5x + 6 = 0\) son \(x = 2\) y \(x = 3\).
Si deseas, también puedo calcular las soluciones utilizando la fórmula general.
- 2x^2 + 4x – 6 = 0
Para encontrar la solución de la ecuación cuadrática \(2x^2 + 4x – 6 = 0\), podemos utilizar la fórmula general.
La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática de la forma \(ax^2 + bx + c = 0\) es:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\]
En este caso, los coeficientes de la ecuación son: \(a = 2\), \(b = 4\), y \(c = -6\).
Sustituyendo estos valores en la fórmula general, obtenemos:
\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2}\]
Simplificando:
\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4}\]
\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{4}\]
\[x = \frac{-4 \pm 8}{4}\]
Tenemos dos soluciones posibles:
1. Cuando tomamos el signo positivo:
\[x = \frac{-4 + 8}{4} = \frac{4}{4} = 1\]
2. Cuando tomamos el signo negativo:
\[x = \frac{-4 – 8}{4} = \frac{-12}{4} = -3\]
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática \(2x^2 + 4x – 6 = 0\) son \(x = 1\) y \(x = -3\).
ejercicios de ecuaciones cúbicas
- x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = 0
Para resolver la ecuación cúbica \(x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = 0\), podemos utilizar diferentes métodos. Una opción es utilizar la fórmula de Cardano-Tartaglia, que nos proporciona las soluciones de una ecuación cúbica.
La fórmula de Cardano-Tartaglia para resolver una ecuación cúbica de la forma \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) es:
\[x = \sqrt[3]{\frac{-q}{2} + \sqrt{\left(\frac{-q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2} – \sqrt{\left(\frac{-q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} – \frac{b}{3a}\]
En este caso, los coeficientes de la ecuación son: \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 3\), \(d = -1\).
Sustituyendo estos valores en la fórmula de Cardano-Tartaglia, obtenemos:
\[x = \sqrt[3]{\frac{3}{2} + \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{\frac{3}{2} – \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^3}} + \frac{1}{3}\]
Simplificando:
\[x = \sqrt[3]{\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{3}{2} – \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{27}}} + \frac{1}{3}\]
Las soluciones exactas de la ecuación cúbica \(x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = 0\) se obtienen al evaluar esta expresión, pero son complejas y un poco complicadas de calcular manualmente. Puedes utilizar una calculadora o software matemático para obtener las soluciones numéricas aproximadas de la ecuación.
- 4z^3 – 6z^2 + 9z – 2 = 0
- -2a^3 + 3a^2 – 5a + 7 = 0
- x^3 + 7x^2 – 3x – 10 = 0
- 3y^3 – 2y^2 + 6y – 8 = 0
Ejercicios de ecuaciones radicales
Estos ejercicios implican la resolución de ecuaciones que contienen raíces cuadradas, cúbicas o de otro tipo. Recuerda que, al resolver estas ecuaciones, debes tener cuidado con las restricciones de los valores de x que permiten que las raíces tengan sentido.
- \sqrt{x} = 5
Para resolver la ecuación radical \(\sqrt{x} = 5\), elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada:
\((\sqrt{x})^2 = 5^2\)
\(x = 25\)
Por lo tanto, la solución de la ecuación es \(x = 25\). Verifiquemos si es correcta:
\(\sqrt{25} = 5\)
\(5 = 5\)
La solución es válida y satisface la ecuación original.
- \sqrt{2x + 3} = 7
Para resolver la ecuación radical \(\sqrt{2x + 3} = 7\), elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada:
\((\sqrt{2x + 3})^2 = 7^2\)
\(2x + 3 = 49\)
Restamos 3 en ambos lados:
\(2x = 49 – 3\)
\(2x = 46\)
Dividimos ambos lados por 2:
\(x = \frac{46}{2}\)
\(x = 23\)
Por lo tanto, la solución de la ecuación es \(x = 23\). Verifiquemos si es correcta:
\(\sqrt{2(23) + 3} = 7\)
\(\sqrt{49} = 7\)
\(7 = 7\)
La solución es válida y satisface la ecuación original.
- \sqrt[3]{x – 2} = 4
Para resolver la ecuación radical \(\sqrt[3]{x – 2} = 4\), elevamos ambos lados al cubo para eliminar la raíz cúbica:
\((\sqrt[3]{x – 2})^3 = 4^3\)
\(x – 2 = 64\)
Sumamos 2 en ambos lados:
\(x = 64 + 2\)
\(x = 66\)
Por lo tanto, la solución de la ecuación es \(x = 66\). Verifiquemos si es correcta:
\(\sqrt[3]{66 – 2} = 4\)
\(\sqrt[3]{64} = 4\)
\(4 = 4\)
La solución es válida y satisface la ecuación original.
- \sqrt{3x + 1} – 2 = 5
Para resolver la ecuación radical \(\sqrt{3x + 1} – 2 = 5\), primero despejamos la raíz cuadrada:
\(\sqrt{3x + 1} = 5 + 2\)
\(\sqrt{3x + 1} = 7\)
A continuación, elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada:
\((\sqrt{3x + 1})^2 = 7^2\)
\(3x + 1 = 49\)
Restamos 1 en ambos lados:
\(3x = 49 – 1\)
\(3x = 48\)
Dividimos ambos lados por 3:
\(x = \frac{48}{3}\)
\(x = 16\)
Por lo tanto, la solución de la ecuación es \(x = 16\). Verifiquemos si es correcta:
\(\sqrt{3(16) + 1} – 2 = 5\)
\(\sqrt{49} – 2 = 5\)
\(7 – 2 = 5\)
\(5 = 5\)
La solución es válida y satisface la ecuación original.
- \sqrt[4]{x^2 + 1} = 3
Para resolver la ecuación radical \(\sqrt[4]{x^2 + 1} = 3\), elevamos ambos lados a la cuarta potencia para eliminar la raíz cuarta:
\((\sqrt[4]{x^2 + 1})^4 = 3^4\)
\(x^2 + 1 = 81\)
Restamos 1 en ambos lados:
\(x^2 = 81 – 1\)
\(x^2 = 80\)
Tomamos la raíz cuadrada en ambos lados:
\(x = \sqrt{80}\)
Simplificamos la raíz cuadrada:
\(x = \sqrt{16 \cdot 5}\)
\(x = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5}\)
\(x = 4 \cdot \sqrt{5}\)
Por lo tanto, la solución de la ecuación es \(x = 4 \cdot \sqrt{5}\). Verifiquemos si es correcta:
\(\sqrt[4]{(4 \cdot \sqrt{5})^2 + 1} = 3\)
\(\sqrt[4]{(16 \cdot 5) + 1} = 3\)
\(\sqrt[4]{81} = 3\)
\(3 = 3\)
La solución es válida y satisface la ecuación original.
- \sqrt{x – 1} + \sqrt{x + 2} = 6
Para resolver la ecuación radical \(\sqrt{x – 1} + \sqrt{x + 2} = 6\), primero aislamos una de las raíces cuadradas:
\(\sqrt{x – 1} = 6 – \sqrt{x + 2}\)
A continuación, elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar las raíces cuadradas:
\((\sqrt{x – 1})^2 = (6 – \sqrt{x + 2})^2\)
\(x – 1 = (6 – \sqrt{x + 2})(6 – \sqrt{x + 2})\)
Simplificamos la expresión dentro del paréntesis:
\(x – 1 = (6 – \sqrt{x + 2})^2\)
\(x – 1 = 36 – 12\sqrt{x + 2} + (x + 2)\)
Desarrollamos el cuadrado y simplificamos los términos semejantes:
\(x – 1 = 36 – 12\sqrt{x + 2} + x + 2\)
Simplificamos aún más:
\(x – 1 = x + 38 – 12\sqrt{x + 2}\)
Restamos x en ambos lados:
\(-1 = 38 – 12\sqrt{x + 2}\)
Sumamos 12\(\sqrt{x + 2}\) en ambos lados:
\(12\sqrt{x + 2} = 38 + 1\)
\(12\sqrt{x + 2} = 39\)
Dividimos ambos lados por 12:
\(\sqrt{x + 2} = \frac{39}{12}\)
Simplificamos la fracción:
\(\sqrt{x + 2} = \frac{13}{4}\)
Elevamos ambos lados al cuadrado:
\((\sqrt{x + 2})^2 = \left(\frac{13}{4}\right)^2\)
\(x + 2 = \frac{169}{16}\)
Restamos 2 en ambos lados:
\(x = \frac{169}{16} – \frac{32}{16}\)
\(x = \frac{137}{16}\)
Por lo tanto, la solución de la ecuación es \(x = \frac{137}{16}\). Verifiquemos si es correcta:
\(\sqrt{\frac{137}{16} – 1} + \sqrt{\frac{137}{16} + 2} = 6\)
\(\sqrt{\frac{137 – 16}{16}} + \sqrt{\frac{137 + 32}{16}} = 6\)
\(\sqrt{\frac{121}{16}} + \sqrt{\frac{169}{16}} = 6\)
\(\frac{11}{4} + \frac{13}{4} = 6\)
\(\frac{24}{4} = 6\)
\(6 = 6\)
La solución es válida y satisface la ecuación original.
- \sqrt{2x} – \sqrt{x} = 4
Para resolver la ecuación radical \(\sqrt{2x} – \sqrt{x} = 4\), podemos simplificar la ecuación combinando los términos radicales:
\(\sqrt{2x} – \sqrt{x} = 4\)
Para eliminar las raíces cuadradas, elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado:
\((\sqrt{2x} – \sqrt{x})^2 = 4^2\)
\((2x) – 2(\sqrt{2x})(\sqrt{x}) + (x) = 16\)
Simplificamos la expresión:
\(2x – 2\sqrt{2x}\sqrt{x} + x = 16\)
Combinamos los términos semejantes:
\(3x – 2\sqrt{2x}\sqrt{x} = 16\)
Para simplificar la ecuación aún más, notemos que \(\sqrt{2x}\sqrt{x} = \sqrt{2x^2} = \sqrt{2}x\).
Reescribimos la ecuación:
\(3x – 2\sqrt{2}x = 16\)
Factorizamos \(x\) como un factor común:
\(x(3 – 2\sqrt{2}) = 16\)
Dividimos ambos lados por \(3 – 2\sqrt{2}\):
\(x = \frac{16}{3 – 2\sqrt{2}}\)
Para obtener una forma más simplificada, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador:
\(x = \frac{16(3 + 2\sqrt{2})}{(3 – 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})}\)
Simplificamos el denominador utilizando la identidad del binomio conjugado:
\(x = \frac{16(3 + 2\sqrt{2})}{9 – (2\sqrt{2})^2}\)
Simplificamos el denominador aún más:
\(x = \frac{16(3 + 2\sqrt{2})}{9 – 8}\)
\(x = \frac{16(3 + 2\sqrt{2})}{1}\)
Finalmente, la solución de la ecuación es:
\(x = 16(3 + 2\sqrt{2})\)
No es posible simplificar aún más la solución.
- \sqrt[3]{2x – 1} + 2 = 5
Para resolver la ecuación radical \(\sqrt{2x} – \sqrt{x} = 4\), podemos simplificar la ecuación combinando los términos radicales:
\(\sqrt{2x} – \sqrt{x} = 4\)
Para eliminar las raíces cuadradas, elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado:
\((\sqrt{2x} – \sqrt{x})^2 = 4^2\)
\((2x) – 2(\sqrt{2x})(\sqrt{x}) + (x) = 16\)
Simplificamos la expresión:
\(2x – 2\sqrt{2x}\sqrt{x} + x = 16\)
Combinamos los términos semejantes:
\(3x – 2\sqrt{2x}\sqrt{x} = 16\)
Para simplificar la ecuación aún más, notemos que \(\sqrt{2x}\sqrt{x} = \sqrt{2x^2} = \sqrt{2}x\).
Reescribimos la ecuación:
\(3x – 2\sqrt{2}x = 16\)
Factorizamos \(x\) como un factor común:
\(x(3 – 2\sqrt{2}) = 16\)
Dividimos ambos lados por \(3 – 2\sqrt{2}\):
\(x = \frac{16}{3 – 2\sqrt{2}}\)
Para obtener una forma más simplificada, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador:
\(x = \frac{16(3 + 2\sqrt{2})}{(3 – 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})}\)
Simplificamos el denominador utilizando la identidad del binomio conjugado:
\(x = \frac{16(3 + 2\sqrt{2})}{9 – (2\sqrt{2})^2}\)
Simplificamos el denominador aún más:
\(x = \frac{16(3 + 2\sqrt{2})}{9 – 8}\)
\(x = \frac{16(3 + 2\sqrt{2})}{1}\)
Finalmente, la solución de la ecuación es:
\(x = 16(3 + 2\sqrt{2})\)
No es posible simplificar aún más la solución.
- \sqrt{5x + 2} = \sqrt{x + 1} + 3
Para resolver la ecuación radical \(\sqrt[3]{x^2 + 1} – \sqrt[3]{x – 2} = 4\), vamos a aplicar una estrategia similar a la usada en ecuaciones radicales anteriores.
Primero, vamos a elevar ambos lados de la ecuación al cubo para eliminar las raíces cúbicas:
\((\sqrt[3]{x^2 + 1} – \sqrt[3]{x – 2})^3 = 4^3\)
\((x^2 + 1) – 3(\sqrt[3]{x^2 + 1})(\sqrt[3]{x – 2})(\sqrt[3]{x – 2}) + 3(\sqrt[3]{x^2 + 1})^2(\sqrt[3]{x – 2}) – (\sqrt[3]{x – 2})^3 = 64\)
Simplificamos la expresión dentro del paréntesis:
\(x^2 + 1 – 3(\sqrt[3]{x^2 + 1})(\sqrt[3]{x – 2})^2 + 3(\sqrt[3]{x^2 + 1})^2(\sqrt[3]{x – 2}) – (x – 2) = 64\)
Simplificamos más los términos:
\(x^2 + 1 – 3(x^2 + 1)(x – 2)^\frac{2}{3} + 3(x^2 + 1)^\frac{2}{3}(x – 2) – (x – 2) = 64\)
Eliminamos los términos con raíces cúbicas:
\(x^2 + 1 – 3(x^2 + 1)(x – 2)^\frac{2}{3} + 3(x^2 + 1)^\frac{2}{3}(x – 2) – (x – 2) = 64\)
Simplificamos y agrupamos los términos:
\(x^2 + 1 – 3(x^2 + 1)(x – 2)^\frac{2}{3} + 3(x^2 + 1)^\frac{2}{3}(x – 2) – (x – 2) – 64 = 0\)
\(x^2 + 1 – 3(x^2 + 1)(x – 2)^\frac{2}{3} + 3(x^2 + 1)^\frac{2}{3}(x – 2) – x + 2 – 64 = 0\)
Simplificamos aún más:
\(x^2 – 3x^2 – 3(x – 2)^\frac{2}{3} + 3(x^2 + 1)^\frac{2}{3}(x – 2) – x – 61 = 0\)
Aunque esta ecuación no puede resolverse fácilmente de forma algebraica, podemos utilizar métodos numéricos o aproximaciones para encontrar soluciones aproximadas.
Ejercicios de valor absoluto
Recuerda que al resolver ecuaciones de valor absoluto, debes considerar los casos en los que el valor absoluto puede ser positivo o negativo, y luego verificar las soluciones obtenidas. ¡Buena suerte!
- |2x – 5| = 7
Para resolver la ecuación |2x – 5| = 7, debemos considerar dos casos: cuando el contenido del valor absoluto es positivo y cuando es negativo.
Cuando 2x – 5 es positivo:
2x – 5 = 7
2x = 7 + 5
2x = 12
x = 12/2
x = 6
Cuando 2x – 5 es negativo:
-(2x – 5) = 7
-2x + 5 = 7
-2x = 7 – 5
-2x = 2
x = 2/(-2)
x = -1
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación |2x – 5| = 7 son x = 6 y x = -1.
- |3x + 2| = 10
Para resolver la ecuación |3x + 2| = 10, debemos considerar los dos casos posibles: cuando el contenido del valor absoluto es positivo y cuando es negativo.
Cuando 3x + 2 es positivo:
3x + 2 = 10
3x = 10 – 2
3x = 8
x = 8/3
Cuando 3x + 2 es negativo:
-(3x + 2) = 10
-3x – 2 = 10
-3x = 10 + 2
-3x = 12
x = 12/(-3)
x = -4
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación |3x + 2| = 10 son x = 8/3 y x = -4.
- |4 – x| = 3
Para resolver la ecuación |4 – x| = 3, nuevamente consideraremos dos casos: cuando el contenido del valor absoluto es positivo y cuando es negativo.
Cuando 4 – x es positivo:
4 – x = 3
-x = 3 – 4
-x = -1
x = -(-1)
x = 1
Cuando 4 – x es negativo:
-(4 – x) = 3
-x + 4 = 3
-x = 3 – 4
-x = -1
x = -(-1)
x = 1
En este caso, el contenido del valor absoluto no cambia según el signo, por lo que la solución es x = 1.
Por lo tanto, la solución de la ecuación |4 – x| = 3 es x = 1.
- |2x + 1| = |x – 3|
Para resolver la ecuación |2x + 1| = |x – 3|, también debemos considerar dos casos: cuando el contenido del valor absoluto es positivo y cuando es negativo.
Cuando 2x + 1 es positivo y x – 3 es positivo:
2x + 1 = x – 3
2x – x = -3 – 1
x = -4
Cuando 2x + 1 es positivo y x – 3 es negativo:
2x + 1 = -(x – 3)
2x + 1 = -x + 3
2x + x = 3 – 1
3x = 2
x = 2/3
Cuando 2x + 1 es negativo y x – 3 es positivo:
-(2x + 1) = x – 3
-2x – 1 = x – 3
-2x – x = -3 + 1
-3x = -2
x = -2/(-3)
x = 2/3
Cuando 2x + 1 es negativo y x – 3 es negativo:
-(2x + 1) = -(x – 3)
-2x – 1 = -x + 3
-2x + x = 3 + 1
-x = 4
x = 4/(-1)
x = -4
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación |2x + 1| = |x – 3| son x = -4 y x = 2/3.
- |5x – 2| = |2x + 3|
Para resolver la ecuación |5x – 2| = |2x + 3|, analicemos los casos posibles cuando el contenido del valor absoluto es positivo y cuando es negativo.
Cuando 5x – 2 es positivo y 2x + 3 es positivo:
5x – 2 = 2x + 3
5x – 2x = 3 + 2
3x = 5
x = 5/3
Cuando 5x – 2 es positivo y 2x + 3 es negativo:
5x – 2 = -(2x + 3)
5x – 2 = -2x – 3
5x + 2x = -3 + 2
7x = -1
x = -1/7
Cuando 5x – 2 es negativo y 2x + 3 es positivo:
-(5x – 2) = 2x + 3
-5x + 2 = 2x + 3
-5x – 2x = 3 – 2
-7x = 1
x = 1/(-7)
x = -1/7
Cuando 5x – 2 es negativo y 2x + 3 es negativo:
-(5x – 2) = -(2x + 3)
-5x + 2 = -2x – 3
-5x + 2x = -3 – 2
-3x = -5
x = -5/(-3)
x = 5/3
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación |5x – 2| = |2x + 3| son x = -1/7, x = -5/3, x = 5/3 y x = 1/7.
- |x + 4| – 2 = 5
Para resolver la ecuación |x + 4| – 2 = 5, analicemos los dos casos posibles cuando el contenido del valor absoluto es positivo y cuando es negativo.
Cuando x + 4 es positivo:
|x + 4| – 2 = 5
x + 4 – 2 = 5
x + 2 = 5
x = 5 – 2
x = 3
Cuando x + 4 es negativo:
|-(x + 4)| – 2 = 5
-(x + 4) – 2 = 5
-x – 4 – 2 = 5
-x – 6 = 5
-x = 5 + 6
-x = 11
x = -11
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación |x + 4| – 2 = 5 son x = 3 y x = -11.
- |2x + 1| + 3 = 8
Para resolver la ecuación |2x + 1| + 3 = 8, analicemos los dos casos posibles cuando el contenido del valor absoluto es positivo y cuando es negativo.
Cuando 2x + 1 es positivo:
|2x + 1| + 3 = 8
2x + 1 + 3 = 8
2x + 4 = 8
2x = 8 – 4
2x = 4
x = 4/2
x = 2
Cuando 2x + 1 es negativo:
|-(2x + 1)| + 3 = 8
-(2x + 1) + 3 = 8
-2x – 1 + 3 = 8
-2x + 2 = 8
-2x = 8 – 2
-2x = 6
x = 6/(-2)
x = -3
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación |2x + 1| + 3 = 8 son x = 2 y x = -3.
- |3x – 4| = 0
Para resolver la ecuación |3x – 4| = 0, debemos considerar dos casos: cuando el contenido del valor absoluto es positivo y cuando es negativo.
Cuando 3x – 4 es positivo:
3x – 4 = 0
3x = 4
x = 4/3
Cuando 3x – 4 es negativo:
-(3x – 4) = 0
-3x + 4 = 0
-3x = -4
x = -4/(-3)
x = 4/3
En ambos casos, el contenido del valor absoluto se anula y la ecuación se cumple.
Por lo tanto, la única solución de la ecuación |3x – 4| = 0 es x = 4/3.
- |2x + 7| = |x – 3|
Para resolver la ecuación |2x + 7| = |x – 3|, analicemos los dos casos posibles cuando el contenido del valor absoluto es positivo y cuando es negativo.
Cuando 2x + 7 es positivo y x – 3 es positivo:
|2x + 7| = |x – 3|
2x + 7 = x – 3
2x – x = -3 – 7
x = -10
Cuando 2x + 7 es positivo y x – 3 es negativo:
|2x + 7| = |-(x – 3)|
2x + 7 = -x + 3
2x + x = 3 – 7
3x = -4
x = -4/3
Cuando 2x + 7 es negativo y x – 3 es positivo:
|-(2x + 7)| = |x – 3|
-(2x + 7) = x – 3
-2x – 7 = x – 3
-2x – x = -3 + 7
-3x = 4
x = 4/(-3)
x = -4/3
Cuando 2x + 7 es negativo y x – 3 es negativo:
|-(2x + 7)| = |-(x – 3)|
-(2x + 7) = -(x – 3)
-2x – 7 = -x + 3
-2x + x = 3 + 7
-x = 10
x = 10/(-1)
x = -10
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación |2x + 7| = |x – 3| son x = -10, x = -4/3 y x = -10/3.
- |2x – 1| + |x + 2| = 7
Para resolver la ecuación |2x – 1| + |x + 2| = 7, analicemos los casos posibles cuando el contenido de ambos valores absolutos es positivo y cuando es negativo.
Cuando 2x – 1 y x + 2 son positivos:
|2x – 1| + |x + 2| = 7
(2x – 1) + (x + 2) = 7
2x – 1 + x + 2 = 7
3x + 1 = 7
3x = 7 – 1
3x = 6
x = 6/3
x = 2
Cuando 2x – 1 es positivo y x + 2 es negativo:
|2x – 1| + |-(x + 2)| = 7
(2x – 1) + (-(x + 2)) = 7
2x – 1 – x – 2 = 7
x – 3 = 7
x = 7 + 3
x = 10
Cuando 2x – 1 es negativo y x + 2 es positivo:
|-(2x – 1)| + |x + 2| = 7
-(2x – 1) + (x + 2) = 7
-2x + 1 + x + 2 = 7
-x + 3 = 7
-x = 7 – 3
-x = 4
x = -4
Cuando 2x – 1 y x + 2 son negativos:
|-(2x – 1)| + |-(x + 2)| = 7
-(2x – 1) + (-(x + 2)) = 7
-2x + 1 – x – 2 = 7
-3x – 1 = 7
-3x = 7 + 1
-3x = 8
x = 8/(-3)
x = -8/3
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación |2x – 1| + |x + 2| = 7 son x = 2, x = 10, x = -4 y x = -8/3.
Ejercicios de Ecuación logarítmica
Recuerda que para resolver estas ecuaciones logarítmicas, debes aplicar las propiedades de los logaritmos y utilizar técnicas algebraicas para despejar la incógnita. Si necesitas la solución detallada de algún ejercicio en particular, no dudes en escribirme.!
- log(x) = 2
Para resolver la ecuación log(x) = 2, aplicaremos la definición de logaritmo.
La ecuación log(x) = 2 se lee como “logaritmo de x en base 10 es igual a 2”.
La definición nos dice que el logaritmo en base 10 de un número x es el exponente al cual debemos elevar la base (10) para obtener x. Por lo tanto, podemos reescribir la ecuación en forma exponencial de la siguiente manera:
10^2 = x
Esto implica que x es igual a 100.
Por lo tanto, la solución de la ecuación log(x) = 2 es x = 100.
- ln(3x + 1) = 4
Para resolver la ecuación ln(3x + 1) = 4, vamos a aplicar la definición del logaritmo natural.
La ecuación ln(3x + 1) = 4 se puede leer como “logaritmo natural de (3x + 1) es igual a 4”.
La definición nos dice que el logaritmo natural de un número y es el exponente al cual debemos elevar la base e (aproximadamente 2.71828) para obtener y.
Aplicando la definición, podemos reescribir la ecuación en forma exponencial:
e^4 = 3x + 1
Resolviendo esta ecuación exponencial:
3x + 1 = e^4
3x = e^4 – 1
x = (e^4 – 1) / 3
Por lo tanto, la solución de la ecuación ln(3x + 1) = 4 es x = (e^4 – 1) / 3, donde e es el número de Euler aproximadamente 2.71828.
- log(base 5)(2x + 3) = 1
Para resolver la ecuación log(base 5)(2x + 3) = 1, vamos a aplicar la definición de logaritmo en base 5.
La ecuación log(base 5)(2x + 3) = 1 se puede leer como “logaritmo en base 5 de (2x + 3) es igual a 1”.
La definición nos dice que el logaritmo en base 5 de un número y es el exponente al cual debemos elevar la base 5 para obtener y.
Aplicando la definición, podemos reescribir la ecuación en forma exponencial:
5^1 = 2x + 3
Esto implica que:
2x + 3 = 5
Resolviendo para x:
2x = 5 – 3
2x = 2
x = 1
Por lo tanto, la solución de la ecuación log(base 5)(2x + 3) = 1 es x = 1.
- log(base 2)(x^2 – 1) = 3
Para resolver la ecuación log(base 2)(x^2 – 1) = 3, vamos a aplicar la definición de logaritmo en base 2.
La ecuación log(base 2)(x^2 – 1) = 3 se puede leer como “logaritmo en base 2 de (x^2 – 1) es igual a 3”.
La definición nos dice que el logaritmo en base 2 de un número y es el exponente al cual debemos elevar la base 2 para obtener y.
Aplicando la definición, podemos reescribir la ecuación en forma exponencial:
2^3 = x^2 – 1
Esto implica que:
8 = x^2 – 1
Resolviendo para x:
x^2 = 8 + 1
x^2 = 9
Tomando la raíz cuadrada en ambos lados:
x = ±3
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación log(base 2)(x^2 – 1) = 3 son x = 3 y x = -3.
- log(base 10)(x + 5) + log(base 10)(2x – 1) = 2
Para resolver la ecuación log(base 10)(x + 5) + log(base 10)(2x – 1) = 2, vamos a aplicar las propiedades de los logaritmos.
Utilizaremos la propiedad de suma de logaritmos para combinar los dos logaritmos en uno solo:
log(base 10)((x + 5)(2x – 1)) = 2
Luego, aplicamos la propiedad de igualdad de logaritmos, que establece que si dos logaritmos en la misma base son iguales, entonces los argumentos también son iguales:
(x + 5)(2x – 1) = 10^2
(x + 5)(2x – 1) = 100
Expandiendo el producto en el lado izquierdo:
2x^2 – x + 10x – 5 = 100
2x^2 + 9x – 105 = 100
2x^2 + 9x – 205 = 0
Esta es una ecuación cuadrática, que podemos resolver usando el método de factorización, completando el cuadrado o aplicando la fórmula general. En este caso, utilizaremos la fórmula general:
x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a)
Donde a = 2, b = 9 y c = -205.
Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos:
x = (-9 ± √(9^2 – 4 * 2 * -205)) / (2 * 2)
x = (-9 ± √(81 + 1640)) / 4
x = (-9 ± √1721) / 4
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación log(base 10)(x + 5) + log(base 10)(2x – 1) = 2 son:
x = (-9 + √1721) / 4
x = (-9 – √1721) / 4
Ten en cuenta que √1721 es una raíz cuadrada irracional, por lo que las soluciones serán números aproximados.
- ln(4x) – ln(x) = ln(3)
Para resolver la ecuación ln(4x) – ln(x) = ln(3), vamos a utilizar las propiedades de los logaritmos naturales.
Primero, aplicamos la propiedad de resta de logaritmos:
ln(4x/x) = ln(3)
Simplificamos el argumento del logaritmo:
ln(4) = ln(3)
Ahora, tenemos una ecuación en la que los logaritmos son iguales. Esto implica que los argumentos también deben ser iguales:
4 = 3
Sin embargo, esta ecuación es contradictoria ya que 4 no es igual a 3. Por lo tanto, la ecuación ln(4x) – ln(x) = ln(3) no tiene solución.
En otras palabras, no existen valores de x que satisfagan la ecuación original.
- log(base 3)(x + 2) + log(base 3)(x – 1) = 2
Para resolver la ecuación log(base 3)(x + 2) + log(base 3)(x – 1) = 2, vamos a aplicar las propiedades de los logaritmos.
Utilizaremos la propiedad de suma de logaritmos para combinar los dos logaritmos en uno solo:
log(base 3)((x + 2)(x – 1)) = 2
Luego, aplicamos la propiedad de igualdad de logaritmos, que establece que si dos logaritmos en la misma base son iguales, entonces los argumentos también son iguales:
(x + 2)(x – 1) = 3^2
(x + 2)(x – 1) = 9
Expandiendo el producto en el lado izquierdo:
x^2 – x + 2x – 2 = 9
x^2 + x – 2 – 9 = 0
x^2 + x – 11 = 0
Esta es una ecuación cuadrática, que podemos resolver usando el método de factorización, completando el cuadrado o aplicando la fórmula general. En este caso, utilizaremos la fórmula general:
x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a)
Donde a = 1, b = 1 y c = -11.
Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos:
x = (-1 ± √(1^2 – 4 * 1 * -11)) / (2 * 1)
x = (-1 ± √(1 + 44)) / 2
x = (-1 ± √45) / 2
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación log(base 3)(x + 2) + log(base 3)(x – 1) = 2 son:
x = (-1 + √45) / 2
x = (-1 – √45) / 2
Ten en cuenta que √45 es una raíz cuadrada irracional, por lo que las soluciones serán números aproximados.
- log(base 4)(2x – 1) + log(base 4)(x + 2) = 3
Para resolver la ecuación log(base 4)(2x – 1) + log(base 4)(x + 2) = 3, vamos a aplicar las propiedades de los logaritmos.
Utilizaremos la propiedad de suma de logaritmos para combinar los dos logaritmos en uno solo:
log(base 4)((2x – 1)(x + 2)) = 3
Luego, aplicamos la propiedad de igualdad de logaritmos, que establece que si dos logaritmos en la misma base son iguales, entonces los argumentos también son iguales:
(2x – 1)(x + 2) = 4^3
(2x – 1)(x + 2) = 64
Expandiendo el producto en el lado izquierdo:
2x^2 + 4x – x – 2 = 64
2x^2 + 3x – 2 – 64 = 0
2x^2 + 3x – 66 = 0
Esta es una ecuación cuadrática, que podemos resolver usando el método de factorización, completando el cuadrado o aplicando la fórmula general. En este caso, utilizaremos la fórmula general:
x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a)
Donde a = 2, b = 3 y c = -66.
Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos:
x = (-3 ± √(3^2 – 4 * 2 * -66)) / (2 * 2)
x = (-3 ± √(9 + 528)) / 4
x = (-3 ± √537) / 4
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación log(base 4)(2x – 1) + log(base 4)(x + 2) = 3 son:
x = (-3 + √537) / 4
x = (-3 – √537) / 4
Ten en cuenta que √537 es una raíz cuadrada irracional, por lo que las soluciones serán números aproximados.
Ejercicios de Ecuación trigonométrica
Recuerda que para resolver estas ecuaciones trigonométricas, debes utilizar las propiedades de las funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y técnicas algebraicas adecuadas. Si necesitas la solución detallada de algún ejercicio en particular, no dudes en decirme cuál.
- sin(x) = 0
Para resolver la ecuación sin(x) = 0, debemos encontrar los valores de x que satisfacen esta igualdad.
La función seno (sin) es igual a cero en los ángulos donde la altura de la onda seno es cero, es decir, en los puntos donde la línea seno cruza el eje x.
Los valores para los cuales sin(x) = 0 son múltiplos de pi (π), es decir:
x = nπ, donde n es un número entero.
Esto se debe a que en estos puntos, la línea seno cruza el eje x y su altura es cero.
Por lo tanto, la solución para la ecuación sin(x) = 0 es:
x = nπ, donde n es un número entero.
- cos(2x) = 1
Para resolver la ecuación cos(2x) = 1, debemos encontrar los valores de x que satisfacen esta igualdad.
La función coseno (cos) es igual a 1 en los ángulos donde la línea coseno alcanza su máximo valor, que es 1.
La identidad cos(2x) = 1 nos dice que el doble del ángulo x tiene un coseno igual a 1. Esto ocurre en los ángulos cuyo coseno es igual a 1, es decir:
2x = 0 + 2πn, donde n es un número entero.
Dividiendo ambos lados de la ecuación por 2, obtenemos:
x = πn, donde n es un número entero.
Por lo tanto, la solución para la ecuación cos(2x) = 1 es:
x = πn, donde n es un número entero.
- tan(x) = 1
Para resolver la ecuación tan(x) = 1, debemos encontrar los valores de x que satisfacen esta igualdad.
La función tangente (tan) es igual a 1 en los ángulos donde la línea tangente es igual a 1, es decir, en los puntos donde la línea tangente forma un ángulo de 45 grados con el eje x.
Los valores para los cuales tan(x) = 1 son los ángulos de referencia de 45 grados, que se repiten periódicamente cada pi (π) radianes.
Por lo tanto, la solución para la ecuación tan(x) = 1 es:
x = π/4 + nπ, donde n es un número entero.
- sec(x) = 2
Para resolver la ecuación sec(x) = 2, debemos encontrar los valores de x que satisfacen esta igualdad.
La función secante (sec) es el recíproco del coseno, es decir, sec(x) = 1/cos(x).
Para encontrar los valores de x que hacen que sec(x) sea igual a 2, podemos invertir la igualdad y escribirlo como cos(x) = 1/2.
El valor de coseno de x es igual a 1/2 en dos ángulos específicos: π/3 y 5π/3. Esto se puede determinar utilizando la tabla de valores trigonométricos o calculando los ángulos utilizando funciones inversas.
Por lo tanto, las soluciones para la ecuación sec(x) = 2 son:
x = π/3 + 2πn, donde n es un número entero.
x = 5π/3 + 2πn, donde n es un número entero.
- csc(x) = -1
Para resolver la ecuación csc(x) = -1, debemos encontrar los valores de x que satisfacen esta igualdad.
La función cosecante (csc) es el recíproco del seno, es decir, csc(x) = 1/sin(x).
Para que csc(x) sea igual a -1, su recíproco sin(x) debe ser igual a -1.
El valor de seno de x es igual a -1 en dos ángulos específicos: 7π/6 y 11π/6. Esto se puede determinar utilizando la tabla de valores trigonométricos o calculando los ángulos utilizando funciones inversas.
Por lo tanto, las soluciones para la ecuación csc(x) = -1 son:
x = 7π/6 + 2πn, donde n es un número entero.
x = 11π/6 + 2πn, donde n es un número entero.
- cos(x) + sin(x) = 1
Para resolver la ecuación cos(x) + sin(x) = 1, vamos a utilizar algunas identidades trigonométricas para simplificarla.
Podemos usar la identidad cos(x) = sqrt(1 – sin^2(x)) para reemplazar el término cos(x) en la ecuación:
sqrt(1 – sin^2(x)) + sin(x) = 1
Ahora, vamos a elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación para eliminar la raíz cuadrada:
(1 – sin^2(x)) + 2sin(x)sqrt(1 – sin^2(x)) + sin^2(x) = 1
Simplificando y agrupando términos, obtenemos:
2sin(x)sqrt(1 – sin^2(x)) = 0
Ahora, tenemos un producto igual a cero. Esto implica que al menos uno de los factores debe ser igual a cero.
Tenemos dos casos posibles:
1) sin(x) = 0
2) sqrt(1 – sin^2(x)) = 0
Para el primer caso, sin(x) = 0, tenemos varias soluciones:
x = 0 + nπ, donde n es un número entero.
Para el segundo caso, sqrt(1 – sin^2(x)) = 0, tenemos:
1 – sin^2(x) = 0
sin^2(x) = 1
Esto nos lleva a las siguientes soluciones:
sin(x) = 1 o sin(x) = -1
x = π/2 + 2πn o x = 3π/2 + 2πn, donde n es un número entero.
En resumen, las soluciones para la ecuación cos(x) + sin(x) = 1 son:
x = 0 + nπ, π/2 + 2πn, 3π/2 + 2πn, donde n es un número entero.
- tan(x) – cot(x) = 0
Para resolver la ecuación tan(x) – cot(x) = 0, vamos a utilizar las identidades trigonométricas para simplificarla.
La función cotangente (cot) es el recíproco de la tangente, es decir, cot(x) = 1/tan(x).
Reemplazamos el término cot(x) en la ecuación:
tan(x) – 1/tan(x) = 0
Ahora, vamos a multiplicar toda la ecuación por tan(x) para eliminar los denominadores:
tan^2(x) – 1 = 0
Aplicando la identidad trigonométrica fundamental tan^2(x) + 1 = sec^2(x), tenemos:
sec^2(x) – 1 = 0
La expresión sec^2(x) – 1 es una identidad trigonométrica que se puede factorizar como (sec(x) + 1)(sec(x) – 1) = 0.
Esto nos da dos casos:
1) sec(x) + 1 = 0
2) sec(x) – 1 = 0
Para el primer caso, sec(x) + 1 = 0, tenemos:
sec(x) = -1
Esto ocurre en dos ángulos específicos: 2π/3 y 4π/3.
Para el segundo caso, sec(x) – 1 = 0, tenemos:
sec(x) = 1
Esto ocurre en dos ángulos específicos: 0 y 2π.
En resumen, las soluciones para la ecuación tan(x) – cot(x) = 0 son:
x = 0, 2π/3, 4π/3 y 2π, donde π es el valor de pi.
- sec(x) + csc(x) = 2
Para resolver la ecuación sec(x) + csc(x) = 2, vamos a utilizar las identidades trigonométricas para simplificarla.
La función secante (sec) es el recíproco del coseno, es decir, sec(x) = 1/cos(x).
La función cosecante (csc) es el recíproco del seno, es decir, csc(x) = 1/sin(x).
Reemplazamos los términos sec(x) y csc(x) en la ecuación:
1/cos(x) + 1/sin(x) = 2
Multiplicamos toda la ecuación por cos(x) * sin(x) para eliminar los denominadores:
sin(x) + cos(x) = 2 * cos(x) * sin(x)
Ahora, podemos utilizar la identidad trigonométrica sen(x) + cos(x) = √2 * sin(x + π/4):
√2 * sin(x + π/4) = 2 * cos(x) * sin(x)
Dividimos ambos lados de la ecuación por sin(x):
√2 * (sin(x + π/4) / sin(x)) = 2 * cos(x)
Usamos la identidad trigonométrica para el cociente de senos:
√2 * (sin(x) * cos(π/4) + cos(x) * sin(π/4)) / sin(x) = 2 * cos(x)
Simplificamos:
√2 * (sin(x) + cos(x)) / sin(x) = 2 * cos(x)
Ahora, podemos cancelar sin(x) en el numerador y el denominador:
√2 * (1 + cos(x) / sin(x)) = 2 * cos(x)
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por sin(x):
√2 * (1 + cos(x)) = 2 * cos(x) * sin(x)
Distribuimos:
√2 + √2 * cos(x) = 2 * cos(x) * sin(x)
Restamos √2 * cos(x) de ambos lados de la ecuación:
√2 = 2 * cos(x) * sin(x) – √2 * cos(x)
Factor común cos(x) en el lado derecho de la ecuación:
√2 = cos(x) * (2 * sin(x) – √2)
Para que esta ecuación sea verdadera, debe ser cierto que cos(x) ≠ 0, de lo contrario, el lado izquierdo sería cero y el lado derecho no lo sería.
Dividimos ambos lados de la ecuación por cos(x):
√2 / cos(x) = 2 * sin(x) – √2
Usamos la identidad trigonométrica para el cociente de cosenos:
√2 / (sin(x) / √2) = 2 * sin(x) – √2
Simplificamos:
2 = 2 * sin(x) – √2
Restamos 2 * sin(x) de ambos lados de la ecuación:
2 – 2 * sin(x) = -√2
Multiplicamos todos los términos por -1:
2 * sin(x) – 2 = √2
Sumamos 2 a ambos lados de la ecuación:
2 * sin(x) = √2 + 2
Dividimos ambos lados de la ecuación por 2
- 2cos(x) – sin(x) = 0
Para resolver la ecuación 2cos(x) – sin(x) = 0, vamos a utilizar las identidades trigonométricas para simplificarla.
Primero, vamos a reorganizar la ecuación:
2cos(x) = sin(x)
Ahora, podemos utilizar la identidad trigonométrica tan(x) = sin(x) / cos(x):
2cos(x) = tan(x)
Dividimos ambos lados de la ecuación por cos(x):
2 = tan(x) / cos(x)
Utilizamos la identidad trigonométrica tan(x) = sin(x) / cos(x):
2 = sin(x) / cos^2(x)
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por cos^2(x):
2cos^2(x) = sin(x)
Aplicamos la identidad trigonométrica cos^2(x) = 1 – sin^2(x):
2(1 – sin^2(x)) = sin(x)
Distribuimos:
2 – 2sin^2(x) = sin(x)
Movemos todos los términos a un lado de la ecuación:
2sin^2(x) + sin(x) – 2 = 0
Esta ecuación cuadrática se puede resolver utilizando métodos algebraicos o mediante la aplicación de la fórmula general:
sin(x) = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a)
Donde a = 2, b = 1 y c = -2. Sustituyendo estos valores, obtenemos:
sin(x) = (-1 ± √(1 – 4(2)(-2))) / (2(2))
sin(x) = (-1 ± √(1 + 16)) / 4
sin(x) = (-1 ± √17) / 4
Las soluciones para la ecuación 2cos(x) – sin(x) = 0 son:
x = arcsin((-1 + √17) / 4) y x = arcsin((-1 – √17) / 4), donde arcsin es la función arcoseno.
- cos(2x) + sin(2x) = 0
La ecuación trigonométrica es tan(2x) = √3.
Para resolver esta ecuación, vamos a utilizar la identidad trigonométrica tan(2x) = (2tan(x))/(1-tan^2(x)).
Reemplazamos tan(2x) en la ecuación:
(2tan(x))/(1-tan^2(x)) = √3.
Ahora, vamos a simplificar la ecuación. Multiplicamos ambos lados por (1-tan^2(x)):
2tan(x) = √3(1-tan^2(x)).
Expandimos el lado derecho:
2tan(x) = √3 – √3tan^2(x).
Movemos todos los términos al lado izquierdo:
√3tan^2(x) + 2tan(x) – √3 = 0.
Ahora, tenemos una ecuación cuadrática en términos de tan(x). Para resolverla, podemos aplicar la fórmula general:
tan(x) = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a),
donde a = √3, b = 2 y c = -√3.
Sustituimos estos valores y resolvemos:
tan(x) = ( -2 ± √(4 – 4(√3)(-√3))) / (2√3)
tan(x) = (-2 ± √(4 + 12)) / (2√3)
tan(x) = (-2 ± √16) / (2√3)
tan(x) = (-2 ± 4) / (2√3)
Para obtener las soluciones finales, simplificamos:
tan(x) = (2 – 4) / (2√3) = -1/√3 = -√3/3.
tan(x) = (2 + 4) / (2√3) = 6/ (2√3) = √3/√3 = 1.
Las soluciones para la ecuación tan(2x) = √3 son:
x = arctan(-√3/3) y x = arctan(1), donde arctan es la función arcotangente.