Los exponentes se utilizan para representar la repetición de multiplicar un número por sí mismo. El número que se repite se llama base, y el exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma.
Propiedades:
- Producto de exponentes: Cuando se multiplican dos números con la misma base, se suman los exponentes. Por ejemplo, a^m \cdot a^n = a^{m+n}.
- Cociente de exponentes: Cuando se divide dos números con la misma base, se restan los exponentes. Por ejemplo, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.
- Potencia de una potencia: Cuando se eleva una potencia a otro exponente, se multiplican los exponentes. Por ejemplo, (a^m)^n = a^{mn}.
- 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8
- 5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5
- \frac{4^3}{4^2} = 4^{3-2} = 4^1 = 4
- Los logaritmos son la inversa de las operaciones de exponentes. Dado un número x y una base b, el logaritmo de x en base b se denota como \log_b(x) y representa el exponente al cual se debe elevar la base b para obtener x.
- Propiedades:
- Cambio de base: El logaritmo en cualquier base b se puede expresar en términos de logaritmos en otra base a mediante la fórmula \log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}.
- Propiedad del logaritmo de un producto: El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de los números. \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y).
- Propiedad del logaritmo de un cociente: El logaritmo de un cociente de dos números es igual a la resta de los logaritmos de los números. \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) – \log_b(y).
- Ejemplos:
- \log_2(8) = 3, ya que 2^3 = 8.
- \log_3(27) = 3, ya que 3^3 = 27.
- \log_{10}(100) = 2, ya que 10^2 = 100.