En matemáticas, una función es una relación entre dos conjuntos, llamados dominio y codominio, que asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del codominio. Las funciones son fundamentales en el estudio y análisis de diversos fenómenos y estructuras matemáticas.
Algunos conceptos clave relacionados con las funciones son:
Algunos conceptos clave relacionados con las funciones son:
- Dominio y codominio: El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada o argumentos. El codominio es el conjunto de todos los posibles valores de salida o imágenes. Cada elemento del dominio se asigna a un único elemento del codominio.
- Notación: Las funciones se representan mediante una notación específica, como f(x), donde f es el nombre de la función y x es la variable de entrada. También se utiliza la notación y = f(x), donde y es la imagen de x bajo la función f.
- Gráfica de una función: La gráfica de una función es una representación visual de la relación entre los valores de entrada y los valores de salida. En un sistema de coordenadas cartesianas, la gráfica de una función se representa como un conjunto de puntos en el plano.
- Tipos de funciones: Existen diferentes tipos de funciones, como funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, entre otras. Cada tipo de función tiene características específicas en términos de su forma, comportamiento y propiedades.
- Operaciones con funciones: Las funciones pueden ser combinadas y sometidas a operaciones algebraicas. Por ejemplo, se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir funciones, y también se pueden componer funciones.
- Imagen y preimagen: La imagen de un elemento del dominio es el valor correspondiente en el codominio después de aplicar la función. La preimagen es el conjunto de todos los elementos en el dominio que se asignan a un valor específico en el codominio.
Las funciones son una herramienta fundamental en matemáticas y se aplican en diversas áreas, como el cálculo, el análisis de datos, la física, la economía y muchas otras disciplinas. El estudio de las funciones es esencial para comprender y modelar fenómenos matemáticos y del mundo real.
Encontrar el valor de las variables de tal manera que los pares ordenados sean iguales
Estos ejemplos ilustran diferentes ecuaciones en las que se igualan pares ordenados al asignar valores específicos a las variables “x” e “y”.
- (x + 1, 3) = (2, 3)
El par ordenado (x + 1, 3) = (2, 3) se cumple cuando las dos coordenadas correspondientes son iguales. En este caso, podemos igualar las primeras coordenadas y resolver la ecuación:
x + 1 = 2
Restamos 1 a ambos lados de la ecuación:
x = 2 – 1
x = 1
Por lo tanto, la solución para la variable “x” en la ecuación es x = 1.
Sustituyendo este valor de “x” en la ecuación original, tenemos:
(1 + 1, 3) = (2, 3)
Por lo tanto, cuando x = 1, el par ordenado (x + 1, 3) es igual a (2, 3).
- (2x, 5) = (-4, y)
El par ordenado (2x, 5) = (-4, y) se cumple cuando las dos coordenadas correspondientes son iguales. En este caso, podemos igualar las primeras coordenadas y resolver la ecuación:
2x = -4
Dividimos ambos lados de la ecuación por 2:
x = -4/2
x = -2
Por lo tanto, la solución para la variable “x” en la ecuación es x = -2.
Sustituyendo este valor de “x” en la ecuación original, tenemos:
(-4, 5) = (-4, y)
Para que los pares ordenados sean iguales, la segunda coordenada en ambos pares debe ser igual. Por lo tanto, en este caso, y = 5.
Entonces, la solución para la variable “y” en la ecuación es y = 5.
Por lo tanto, cuando x = -2, el par ordenado (2x, 5) es igual a (-4, 5).
- (3x – 2, 7) = (y + 1, 7)
El par ordenado (3x – 2, 7) = (y + 1, 7) se cumple cuando las dos coordenadas correspondientes son iguales. En este caso, podemos igualar las primeras coordenadas y resolver la ecuación:
3x – 2 = y + 1
Sumamos 2 a ambos lados de la ecuación:
3x = y + 1 + 2
3x = y + 3
Restamos y a ambos lados de la ecuación:
3x – y = 3
Por lo tanto, la solución para las variables “x” e “y” en la ecuación es 3x – y = 3.
No podemos determinar un valor específico para “x” e “y” a partir de esta ecuación, ya que hay infinitas combinaciones posibles de valores para “x” e “y” que satisfarían esta igualdad. Sin información adicional o restricciones adicionales, no podemos encontrar una solución única.
- (x^2, 4) = (y^2, 4)
El par ordenado (x^2, 4) = (y^2, 4) se cumple cuando las dos coordenadas correspondientes son iguales. En este caso, podemos igualar las primeras coordenadas y resolver la ecuación:
x^2 = y^2
Tomando la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación, tenemos dos casos posibles:
1) x = y
2) x = -y
Por lo tanto, hay dos soluciones posibles para las variables “x” e “y” en la ecuación: x = y y x = -y.
En resumen, cuando x es igual a y o igual a -y, el par ordenado (x^2, 4) es igual al par ordenado (y^2, 4).
- (2x + 1, 3x – 2) = (y – 5, y – 2)
El par ordenado (2x + 1, 3x – 2) = (y – 5, y – 2) se cumple cuando las dos coordenadas correspondientes son iguales. En este caso, podemos igualar las primeras coordenadas y resolver la ecuación:
2x + 1 = y – 5
Sumamos 5 a ambos lados de la ecuación:
2x + 6 = y
Por lo tanto, la primera coordenada en ambos pares ordenados está en función de “y” como 2x + 6.
Ahora, igualamos las segundas coordenadas y resolvemos la ecuación:
3x – 2 = y – 2
Restamos y a ambos lados de la ecuación:
3x – y = 0
Por lo tanto, la segunda coordenada en ambos pares ordenados está en función de “y” como 3x – y.
En resumen, las soluciones para las variables “x” e “y” en la ecuación son:
Primera coordenada: 2x + 6
Segunda coordenada: 3x – y
No podemos determinar un valor específico para “x” e “y” a partir de esta ecuación, ya que hay infinitas combinaciones posibles de valores para “x” e “y” que satisfarían esta igualdad. Sin información adicional o restricciones adicionales, no podemos encontrar una solución única.
- ( x – 2, 3x + 1) = (-1, y + 4)
El par ordenado (x – 2, 3x + 1) = (-1, y + 4) se cumple cuando las dos coordenadas correspondientes son iguales. En este caso, podemos igualar las primeras coordenadas y resolver la ecuación:
x – 2 = -1
Sumamos 2 a ambos lados de la ecuación:
x = -1 + 2
x = 1
Por lo tanto, la solución para la variable “x” en la ecuación es x = 1.
Sustituyendo este valor de “x” en la ecuación original, tenemos:
(1 – 2, 3(1) + 1) = (-1, y + 4)
(-1, 4) = (-1, y + 4)
Para que los pares ordenados sean iguales, la segunda coordenada en ambos pares debe ser igual. Por lo tanto, en este caso, y + 4 = 4.
Restamos 4 a ambos lados de la ecuación:
y = 4 – 4
y = 0
Por lo tanto, la solución para la variable “y” en la ecuación es y = 0.
Entonces, cuando x = 1, el par ordenado (x – 2, 3x + 1) es igual a (-1, 0).
- (4x + 3, 2y – 1) = (7, 5)
El par ordenado (4x + 3, 2y – 1) = (7, 5) se cumple cuando las dos coordenadas correspondientes son iguales. En este caso, podemos igualar las primeras coordenadas y resolver la ecuación:
4x + 3 = 7
Restamos 3 a ambos lados de la ecuación:
4x = 7 – 3
4x = 4
Dividimos ambos lados de la ecuación por 4:
x = 4/4
x = 1
Por lo tanto, la solución para la variable “x” en la ecuación es x = 1.
Sustituyendo este valor de “x” en la ecuación original, tenemos:
(4(1) + 3, 2y – 1) = (7, 5)
(7, 2y – 1) = (7, 5)
Para que los pares ordenados sean iguales, la segunda coordenada en ambos pares debe ser igual. Por lo tanto, en este caso, 2y – 1 = 5.
Sumamos 1 a ambos lados de la ecuación:
2y = 5 + 1
2y = 6
Dividimos ambos lados de la ecuación por 2:
y = 6/2
y = 3
Por lo tanto, la solución para la variable “y” en la ecuación es y = 3.
Entonces, cuando x = 1, el par ordenado (4x + 3, 2y – 1) es igual a (7, 5).
- (x^2 + 1, y^2 + 1) = (5, 10)
El par ordenado (x^2 + 1, y^2 + 1) = (5, 10) se cumple cuando las dos coordenadas correspondientes son iguales. En este caso, podemos igualar las primeras coordenadas y resolver la ecuación:
x^2 + 1 = 5
Restamos 1 a ambos lados de la ecuación:
x^2 = 4
Tomando la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación, tenemos dos casos posibles:
1) x = 2
2) x = -2
Por lo tanto, hay dos posibles valores para la variable “x” en la ecuación: x = 2 y x = -2.
Sustituyendo estos valores de “x” en la ecuación original, tenemos:
Cuando x = 2:
(2^2 + 1, y^2 + 1) = (5, 10)
(5, y^2 + 1) = (5, 10)
La segunda coordenada en ambos pares ordenados no coincide, por lo que no hay solución para “y” en este caso.
Cuando x = -2:
((-2)^2 + 1, y^2 + 1) = (5, 10)
(5, y^2 + 1) = (5, 10)
Nuevamente, la segunda coordenada en ambos pares ordenados no coincide, por lo que no hay solución para “y” en este caso.
En resumen, en la ecuación (x^2 + 1, y^2 + 1) = (5, 10), no existe un par de valores de “x” e “y” que haga que los pares ordenados sean iguales.
- (x^2 + 3x + 2, 2x^2 + 5x + 2) = (9, 20)
Para encontrar la solución de la igualdad (x^2 + 3x + 2, 2x^2 + 5x + 2) = (9, 20), debemos igualar las expresiones en las coordenadas correspondientes y resolver las ecuaciones resultantes.
Igualando las primeras coordenadas, tenemos:
x^2 + 3x + 2 = 9
Restamos 9 a ambos lados de la ecuación:
x^2 + 3x + 2 – 9 = 0
x^2 + 3x – 7 = 0
Ahora podemos resolver esta ecuación cuadrática utilizando el método que prefieras, como factorización, completar el cuadrado o la fórmula general. Utilizando la fórmula general, obtenemos:
x = (-3 ± √(3^2 – 4(1)(-7))) / (2(1))
x = (-3 ± √(9 + 28)) / 2
x = (-3 ± √37) / 2
Por lo tanto, las soluciones para la variable “x” son:
x = (-3 + √37) / 2
x = (-3 – √37) / 2
Ahora, sustituyendo estas soluciones en la segunda coordenada de la igualdad, tenemos:
Cuando x = (-3 + √37) / 2:
2((-3 + √37) / 2)^2 + 5((-3 + √37) / 2) + 2 = 20
Simplificando la expresión, obtenemos:
((-3 + √37) / 2)^2 + 5((-3 + √37) / 2) + 2 = 10
De manera similar, para x = (-3 – √37) / 2, sustituimos en la segunda coordenada:
((-3 – √37) / 2)^2 + 5((-3 – √37) / 2) + 2 = 20
Resolviendo estas ecuaciones, obtendrás los valores correspondientes de “x” y “y” para la igualdad dada.
Nota: Las soluciones pueden ser números reales o complejos dependiendo del discriminante de la ecuación cuadrática.
- (2x^2 – 4x + 1, x^2 + 3x – 2) = (5, 10)
Para resolver la igualdad (2x^2 – 4x + 1, x^2 + 3x – 2) = (5, 10), debemos igualar las expresiones en las coordenadas correspondientes y resolver las ecuaciones resultantes.
Igualando las primeras coordenadas, tenemos:
2x^2 – 4x + 1 = 5
Restamos 5 a ambos lados de la ecuación:
2x^2 – 4x + 1 – 5 = 0
2x^2 – 4x – 4 = 0
Dividimos toda la ecuación por 2 para simplificar:
x^2 – 2x – 2 = 0
Ahora podemos resolver esta ecuación cuadrática utilizando el método que prefieras, como factorización, completar el cuadrado o la fórmula general. Utilizando la fórmula general, obtenemos:
x = (-(-2) ± √((-2)^2 – 4(1)(-2))) / (2(1))
x = (2 ± √(4 + 8)) / 2
x = (2 ± √12) / 2
Simplificando la expresión:
x = 1 ± √3
Por lo tanto, las soluciones para la variable “x” son:
x = 1 + √3
x = 1 – √3
Ahora, sustituyendo estas soluciones en la segunda coordenada de la igualdad, tenemos:
Cuando x = 1 + √3:
(1 + √3)^2 + 3(1 + √3) – 2 = 10
Simplificando la expresión, obtenemos:
1 + 2√3 + 3 + 3√3 – 2 = 10
6√3 + 2 = 10
6√3 = 8
√3 = 8/6
√3 = 4/3
Cuando x = 1 – √3, sustituimos en la segunda coordenada:
(1 – √3)^2 + 3(1 – √3) – 2 = 10
Simplificando la expresión:
1 – 2√3 + 3 + 3(√3) – 2 = 10
6√3 – 2 = 10
6√3 = 12
√3 = 12/6
√3 = 2
Por lo tanto, las soluciones para la variable “x” en esta igualdad son:
x = 1 + √3
x = 1 – √3
Estos valores de “x” corresponden a las coordenadas (2x^2 – 4x + 1, x^2 + 3x – 2) = (5, 10).
Para cada relación dada elabore su gráfica indicando dominio y rango
- y = x^2
Gráfica: La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba. Dominio: Todos los números reales. Rango: Todos los números reales mayores o iguales a cero.
- y = 1/x
Gráfica: La gráfica es una hipérbola que se acerca al eje x y al eje y a medida que x se acerca a cero. Dominio: Todos los números reales excepto x = 0. Rango: Todos los números reales excepto y = 0.
- y = sqrt(x)
Gráfica: La gráfica es una curva en forma de raíz cuadrada. Dominio: Todos los números reales mayores o iguales a cero. Rango: Todos los números reales mayores o iguales a cero.
- y = 2x + 3
Gráfica: La gráfica es una línea recta con una pendiente positiva. Dominio: Todos los números reales. Rango: Todos los números reales.
- y = |x|
Gráfica: La gráfica es una línea en forma de “V” con el vértice en el origen. Dominio: Todos los números reales. Rango: Todos los números reales mayores o iguales a cero.
Indique si los conjuntos son una función y si so indique dominio y rango
Recuerda que para que un conjunto sea una función, cada valor de x debe estar asociado a un único valor de y. Si hay algún valor de x que se asocia a múltiples valores de y, entonces no es una función.
- {(1, 2), (3, 4), (1, 5), (2, 6)}
¿Es una función? No, porque el valor x = 1 está asociado a dos valores diferentes de y (2 y 5).
- {(2, 3), (4, 5), (6, 7)}
¿Es una función? Sí, cada valor de x está asociado a un único valor de y, por lo que es una función.
- {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}
¿Es una función? Sí, cada valor de x está asociado a un único valor de y, siguiendo una relación lineal y = 2x.
- {(-1, 1), (-2, 4), (-3, 9), (-4, 16)}
¿Es una función? Sí, cada valor de x está asociado a un único valor de y, siguiendo una relación y = x^2.
- {(1, 2), (2, -3), (3, 2), (4, -3)}
¿Es una función? No, porque el valor x = 2 está asociado a dos valores diferentes de y (-3 y 2).
Determinar si las siguientes funciones son uno a uno
Recuerda que una función es uno a uno si y solo si cada valor de x tiene asignado un único valor de y, es decir, dos valores distintos de x no pueden tener el mismo valor de y.
- f(x) = 2x + 3
¿Es uno a uno? Sí, porque cualquier par de valores distintos de x produce dos valores distintos de y.
- f(x) = x^2
¿Es uno a uno? No, porque existen diferentes valores de x que generan el mismo valor de y, como por ejemplo f(2) = f(-2) = 4.
- f(x) = x^3
¿Es uno a uno? Sí, porque cualquier par de valores distintos de x produce dos valores distintos de y.
- f(x) = 3x – 2
¿Es uno a uno? Sí, porque cualquier par de valores distintos de x produce dos valores distintos de y.
- f(x) = |x|
¿Es uno a uno? No, porque los valores negativos de x y sus correspondientes valores positivos generan el mismo valor absoluto.
Composición de funciones
Para cada ejercicio, se te darán dos funciones, y se te pedirá que encuentres la composición de ambas funciones evaluadas en un valor específico de x.
- f(x) = 2x + 3 , g(x) = x^2
Encuentra (f ∘ g)(2)
\[
f(x) = 2x + 3 \\
g(x) = x^2
\]
Encuentra $(f \circ g)(2)$.
Solución:
Primero, evaluamos $g(2)$:
\[ g(2) = (2)^2 = 4 \]
Luego, evaluamos $f(g(2))$:
\[ f(g(2)) = f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 \]
Por lo tanto, $(f \circ g)(2) = 11$.
- h(x) = x^2 + 1 \\ k(x) = \sqrt{x}
Encuentra (k \circ h)(3).
Primero, evaluamos $h(3)$:
\[ h(3) = (3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10 \]
Luego, evaluamos $k(h(3))$:
\[ k(h(3)) = k(10) = \sqrt{10} \]
Por lo tanto, $(k \circ h)(3) = \sqrt{10}$.
- f(x) = 3x – 2 \\ g(x) = 2x + 1
Encuentra(g \circ f)(-1)
Primero, evaluamos $f(-1)$:
\[ f(-1) = 3(-1) – 2 = -3 – 2 = -5 \]
Luego, evaluamos $g(f(-1))$:
\[ g(f(-1)) = g(-5) = 2(-5) + 1 = -10 + 1 = -9 \]
Por lo tanto, $(g \circ f)(-1) = -9$.
determinar si la funcion es par , impar o nínguna
Recuerda aplicar la propiedad de paridad:
- Una función es par si f(x) = f(-x) para todo x en el dominio.
- Una función es impar si f(x) = -f(-x) para todo x en el dominio.
Evalúa cada función y verifica si se cumplen estas condiciones para determinar si son pares o impares.
- f(x) = 2x^4 – 3x^2
Para determinar si la función h(x) = |x – 2| es par o impar, evaluamos si cumple la propiedad de paridad.
La propiedad de paridad establece que una función es par si f(x) = f(-x) para todo x en el dominio, y es impar si f(x) = -f(-x) para todo x en el dominio.
Si evaluamos la función h(x) = |x – 2|:
h(-x) = |(-x) – 2| = |-x + 2|
En este caso, si comparamos h(x) con h(-x), notamos que no son iguales, pero tampoco son opuestos.
Por lo tanto, la función h(x) = |x – 2| no es ni par ni impar, ya que no cumple ninguna de las dos propiedades de paridad.
Es importante tener en cuenta que no todas las funciones tienen que ser necesariamente pares o impares. Algunas funciones pueden no cumplir ninguna de las dos propiedades y se consideran funciones sin paridad definida.
- g(x) = sen(x)
La función g(x) = sen(x), también conocida como la función seno, es una función impar.
Para determinar si una función es impar, debemos verificar si se cumple la propiedad de paridad, es decir, si f(x) = -f(-x) para todo x en el dominio.
Si evaluamos g(x) = sen(x):
-g(-x) = -sen(-x) = -(-sen(x)) = sen(x)
Podemos ver que g(x) = -g(-x) para cualquier valor de x, lo cual indica que la función es impar.
Por lo tanto, la función g(x) = sen(x) es impar.
- h(x) = |x – 2|
La función h(x) = |x – 2| no es ni par ni impar, ya que no cumple ninguna de las dos propiedades de paridad.
Para determinar si una función es par, debemos verificar si se cumple la propiedad f(x) = f(-x) para todo x en el dominio. En el caso de la función h(x) = |x – 2|, si evaluamos h(x) y h(-x) no obtenemos una igualdad.
Por otro lado, para determinar si una función es impar, debemos verificar si se cumple la propiedad f(x) = -f(-x) para todo x en el dominio. Nuevamente, si evaluamos h(x) y h(-x), no obtenemos una igualdad de signos opuestos.
Por lo tanto, la función h(x) = |x – 2| no es ni par ni impar.
- k(x) = x^5 – x^3 + x
La función k(x) = x^5 – x^3 + x es una función impar.
Para determinar si una función es impar, debemos verificar si se cumple la propiedad de paridad: f(x) = -f(-x) para todo x en el dominio.
Si evaluamos k(x) y k(-x) en la función k(x) = x^5 – x^3 + x:
k(-x) = (-x)^5 – (-x)^3 + (-x) = -x^5 + x^3 – x
Podemos observar que k(x) = -k(-x) para cualquier valor de x, lo cual indica que la función es impar.
Por lo tanto, la función k(x) = x^5 – x^3 + x es impar.
- m(x) = e^x + e^(-x)
La función m(x) = e^x + e^(-x) no es ni par ni impar, ya que no cumple ninguna de las dos propiedades de paridad.
Para determinar si una función es par, debemos verificar si se cumple la propiedad f(x) = f(-x) para todo x en el dominio. En el caso de la función m(x) = e^x + e^(-x), si evaluamos m(x) y m(-x) no obtenemos una igualdad.
Por otro lado, para determinar si una función es impar, debemos verificar si se cumple la propiedad f(x) = -f(-x) para todo x en el dominio. Nuevamente, si evaluamos m(x) y m(-x), no obtenemos una igualdad de signos opuestos.
Por lo tanto, la función m(x) = e^x + e^(-x) no es ni par ni impar.
Indicar interceptos coordenados, rango e identificar si crece o decrece
- f(x) = x^2 + 4
– Intercepto y: No tiene intercepto en el eje y (y = 0).
– Intercepto x: x = 0.
– Rango: El rango de la función es [4, +∞).
– Crecimiento/Decrecimiento: La función f(x) = x^2 + 4 es una función creciente para todos los valores de x.
- g(x) = -2x + 3
– Intercepto y: y = 3.
– Intercepto x: x = 0.
– Rango: El rango de la función es (-∞, +∞).
– Crecimiento/Decrecimiento: La función g(x) = -2x + 3 es una función decreciente para todos los valores de x.
- h(x) = √x
– Intercepto y: y = 0.
– Intercepto x: x = 0.
– Rango: El rango de la función es [0, +∞).
– Crecimiento/Decrecimiento: La función h(x) = √x es una función creciente para todos los valores de x mayores o iguales a cero.
- k(x) = -x^3 + 2x^2
– Intercepto y: y = 0.
– Intercepto x: x = 0, x = 2.
– Rango: El rango de la función es (-∞, +∞).
– Crecimiento/Decrecimiento: La función k(x) = -x^3 + 2x^2 es una función decreciente en el intervalo (-∞, 0) y creciente en el intervalo (0, 2).
- f(x) = e^x
– Intercepto y: y = 1 (elevado a la potencia de 0).
– Intercepto x: No tiene intercepto en el eje x (x = 0).
– Rango: El rango de la función es (0, +∞).
– Crecimiento/Decrecimiento: La función f(x) = e^x es una función creciente para todos los valores de x.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados y trazar dicha recta
Para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados, utilizaremos la fórmula de la pendiente-intersección. La ecuación general de una recta es:
y = mx + b
Donde “m” es la pendiente de la recta y “b” es el término independiente o intersección en el eje y. Para encontrar la ecuación de la recta, necesitamos calcular la pendiente “m” y el valor de “b”.
Supongamos que tenemos dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). La fórmula de la pendiente es:
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
Una vez que tenemos la pendiente, podemos calcular el valor de “b” utilizando uno de los puntos dados y la fórmula de la recta:
b = y – mx
Ahora que tenemos los valores de “m” y “b”, podemos escribir la ecuación de la recta
- P1(2, 3) y P2(4, 7)
Paso 1: Calcula la pendiente “m” m = (7 – 3) / (4 – 2) m = 4 / 2 m = 2
Paso 2: Calcula el valor de “b” utilizando el punto P1(2, 3) b = 3 – 2(2) b = 3 – 4 b = -1
Paso 3: Escribe la ecuación de la recta utilizando “m” y “b” y = 2x – 1
Ahora que tenemos la ecuación de la recta (y = 2x – 1), podemos trazarla en un gráfico utilizando los puntos P1(2, 3) y P2(4, 7).
- P1(1, 3) y P2(4, 6)
Vamos a calcular la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.
Paso 1: Calcula la pendiente “m”
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
m = (6 – 3) / (4 – 1)
m = 3 / 3
m = 1
Paso 2: Calcula el valor de “b” utilizando el punto P1(1, 3)
b = y – mx
b = 3 – 1(1)
b = 3 – 1
b = 2
Paso 3: Escribe la ecuación de la recta utilizando “m” y “b”
y = mx + b
y = 1x + 2
y = x + 2
La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(1, 3) y P2(4, 6) es y = x + 2. Ahora, puedes graficarla en un plano cartesiano trazando una línea recta que pase por ambos puntos.
- P1(-2, 5) y P2(3, -4)
Para el ejercicio 2, los puntos dados son P1(-2, 5) y P2(3, -4). Vamos a calcular la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.
Paso 1: Calcula la pendiente “m”
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
m = (-4 – 5) / (3 – (-2))
m = -9 / 5
m = -1.8
Paso 2: Calcula el valor de “b” utilizando el punto P1(-2, 5)
b = y – mx
b = 5 – (-1.8)(-2)
b = 5 – 3.6
b = 1.4
Paso 3: Escribe la ecuación de la recta utilizando “m” y “b”
y = mx + b
y = -1.8x + 1.4
La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(-2, 5) y P2(3, -4) es y = -1.8x + 1.4. Ahora, puedes graficarla en un plano cartesiano trazando una línea recta que pase por ambos puntos.
- P1(0, -2) y P2(5, 3)
Vamos a calcular la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.
Paso 1: Calcula la pendiente “m”
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
m = (3 – (-2)) / (5 – 0)
m = 5 / 5
m = 1
Paso 2: Calcula el valor de “b” utilizando el punto P1(0, -2)
b = y – mx
b = -2 – 1(0)
b = -2
Paso 3: Escribe la ecuación de la recta utilizando “m” y “b”
y = mx + b
y = 1x – 2
y = x – 2
La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(0, -2) y P2(5, 3) es y = x – 2. Ahora, puedes graficarla en un plano cartesiano trazando una línea recta que pase por ambos puntos.
- P1(-3, -1) y P2(2, 4)
Vamos a calcular la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.
Paso 1: Calcula la pendiente “m”
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
m = (4 – (-1)) / (2 – (-3))
m = 5 / 5
m = 1
Paso 2: Calcula el valor de “b” utilizando el punto P1(-3, -1)
b = y – mx
b = -1 – 1(-3)
b = -1 + 3
b = 2
Paso 3: Escribe la ecuación de la recta utilizando “m” y “b”
y = mx + b
y = 1x + 2
y = x + 2
La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(-3, -1) y P2(2, 4) es y = x + 2. Ahora, puedes graficarla en un plano cartesiano trazando una línea recta que pase por ambos puntos.
- P1(4, -5) y P2(-1, 2)
Vamos a calcular la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.
Paso 1: Calcula la pendiente “m”
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
m = (4 – (-1)) / (2 – (-3))
m = 5 / 5
m = 1
Paso 2: Calcula el valor de “b” utilizando el punto P1(-3, -1)
b = y – mx
b = -1 – 1(-3)
b = -1 + 3
b = 2
Paso 3: Escribe la ecuación de la recta utilizando “m” y “b”
y = mx + b
y = 1x + 2
y = x + 2
La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(-3, -1) y P2(2, 4) es y = x + 2. Ahora, puedes graficarla en un plano cartesiano trazando una línea recta que pase por ambos puntos.
Gráfique cada una de las siguientes ecuaciones indicando la pendiente
- y = -2x^2 + 3x + 1
Esta ecuación es una función cuadrática, no una recta. La pendiente no es constante en este caso, sino que varía en función de x. Puedes graficarla trazando una curva suave que representa una parábola.
- y = 1/2x – 2
La pendiente en esta ecuación es 1/2 o 0.5. La recta tiene una pendiente positiva, lo que significa que es una línea inclinada hacia arriba. El coeficiente de x (1/2) indica que por cada aumento de dos unidades en x, y aumentará en una unidad. El término independiente es -2, lo que indica que la recta cruza el eje y en el punto (0, -2).
Grafica cada una de estas ecuaciones en un plano cartesiano, marcando los puntos de intersección con los ejes x e y, y traza la línea con la pendiente indicada
Encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales
Para cada ejercicio, utiliza métodos como sustitución, eliminación o matriz inversa para encontrar los valores de x e y que satisfacen ambas ecuaciones.
- \left. 2x + 3y = 7 \atop 4x -2 y = 10 \right\}
Para resolver el sistema de ecuaciones del
\[
\begin{align*}
2x + 3y &= 7 \\
4x – 2y &= 10 \\
\end{align*}
\]
Podemos usar el método de eliminación para encontrar la solución. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por 3 para igualar los coeficientes de x en ambas ecuaciones:
\[
\begin{align*}
4x + 6y &= 14 \\
12x – 6y &= 30 \\
\end{align*}
\]
Ahora sumamos las ecuaciones para eliminar la variable y:
\[
16x = 44
\]
Dividimos ambos lados por 16:
\[
x = \frac{44}{16} = \frac{11}{4}
\]
Sustituimos el valor de x en la primera ecuación para encontrar y:
\[
2\left(\frac{11}{4}\right) + 3y = 7
\]
Simplificamos:
\[
\frac{11}{2} + 3y = 7
\]
Restamos \(\frac{11}{2}\) de ambos lados:
\[
3y = 7 – \frac{11}{2} = \frac{14}{2} – \frac{11}{2} = \frac{3}{2}
\]
Dividimos ambos lados por 3:
\[
y = \frac{1}{2}
\]
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es \(x = \frac{11}{4}\) y \(y = \frac{1}{2}\).
- \left. 3x + 2y = 8 \atop 5x – y = 1 \right\}
Podemos utilizar el método de eliminación o el método de sustitución para encontrar la solución. En este caso, utilizaremos el método de sustitución.
Comenzamos despejando una variable en una de las ecuaciones. En la segunda ecuación, despejamos y en términos de x:
\[y = 5x – 1\]
Luego, sustituimos esta expresión en la primera ecuación:
\[3x + 2(5x – 1) = 8\]
Simplificamos y resolvemos la ecuación:
\[3x + 10x – 2 = 8\]
\[13x – 2 = 8\]
\[13x = 10\]
\[x = \frac{10}{13}\]
Ahora que tenemos el valor de x, sustituimos este valor en la expresión que obtuvimos para y:
\[y = 5\left(\frac{10}{13}\right) – 1\]
\[y = \frac{50}{13} – \frac{13}{13}\]
\[y = \frac{37}{13}\]
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es \(x = \frac{10}{13}\) y \(y = \frac{37}{13}\).
- \left. x – y = 4 \atop 2x +3y = 1 \right\}
Para resolver el sistema de ecuaciones del ejercicio 3:
\[
\begin{align*}
x – y &= 4 \\
2x + 3y &= 1 \\
\end{align*}
\]
Podemos utilizar el método de sustitución o el método de eliminación para encontrar la solución. En este caso, utilizaremos el método de sustitución.
Comenzamos despejando una variable en una de las ecuaciones. En la primera ecuación, despejamos x en términos de y:
\[x = y + 4\]
Luego, sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:
\[2(y + 4) + 3y = 1\]
Simplificamos y resolvemos la ecuación:
\[2y + 8 + 3y = 1\]
\[5y + 8 = 1\]
\[5y = 1 – 8\]
\[5y = -7\]
\[y = -\frac{7}{5}\]
Ahora que tenemos el valor de y, sustituimos este valor en la expresión que obtuvimos para x:
\[x = -\frac{7}{5} + 4\]
\[x = -\frac{7}{5} + \frac{20}{5}\]
\[x = \frac{13}{5}\]
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es \(x = \frac{13}{5}\) y \(y = -\frac{7}{5}\).
Encontrar la solución de sistemas de ecuaciones cuadráticas
- \left. y = x^2 + 2x + 1\atop y = 2x + 3 \right\}
Podemos igualar las dos ecuaciones para obtener:
\[x^2 + 2x + 1 = 2x + 3\]
Reorganizamos la ecuación:
\[x^2 + 2x – 2x + 1 – 3 = 0\]
Simplificamos:
\[x^2 – 2 = 0\]
Factorizamos:
\[(x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0\]
Esto nos da dos posibles soluciones para x:
\[x_1 = \sqrt{2}\]
\[x_2 = -\sqrt{2}\]
Sustituimos estas soluciones en una de las ecuaciones originales, por ejemplo, en la segunda ecuación:
\[y = 2x + 3\]
Para \(x_1 = \sqrt{2}\):
\[y_1 = 2(\sqrt{2}) + 3 = 2\sqrt{2} + 3\]
Para \(x_2 = -\sqrt{2}\):
\[y_2 = 2(-\sqrt{2}) + 3 = -2\sqrt{2} + 3\]
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:
\[(x_1, y_1) = (\sqrt{2}, 2\sqrt{2} + 3)\]
\[(x_2, y_2) = (-\sqrt{2}, -2\sqrt{2} + 3)\]
- \left. y = 2x^2 – 3x + 1\atop y = x + 4 \right\}
Podemos igualar las dos ecuaciones para obtener:
\[2x^2 – 3x + 1 = x + 4\]
Reorganizamos la ecuación:
\[2x^2 – 3x – x + 1 – 4 = 0\]
Simplificamos:
\[2x^2 – 4x – 3 = 0\]
Podemos resolver esta ecuación cuadrática utilizando el método de factorización, completando el cuadrado o utilizando la fórmula general. En este caso, utilizaremos la fórmula general:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\]
Donde:
\[a = 2\]
\[b = -4\]
\[c = -3\]
Sustituimos los valores en la fórmula general:
\[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(2)(-3)}}{2(2)}\]
Simplificamos:
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4}\]
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4}\]
\[x = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4}\]
\[x = 1 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}\]
Esto nos da dos posibles soluciones para x:
\[x_1 = 1 + \frac{\sqrt{10}}{2}\]
\[x_2 = 1 – \frac{\sqrt{10}}{2}\]
Sustituimos estas soluciones en una de las ecuaciones originales, por ejemplo, en la segunda ecuación:
\[y = x + 4\]
Para \(x_1 = 1 + \frac{\sqrt{10}}{2}\):
\[y_1 = \left(1 + \frac{\sqrt{10}}{2}\right) + 4 = 5 + \frac{\sqrt{10}}{2}\]
Para \(x_2 = 1 – \frac{\sqrt{10}}{2}\):
\[y_2 = \left(1 – \frac{\sqrt{10}}{2}\right) + 4 = 5 – \frac{\sqrt{10}}{2}\]
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:
\[(x_1, y_1) = \left(1 + \frac{\sqrt{10}}{2}, 5 + \frac{\sqrt{10}}{2}\right)\]
\[(x_2, y_2) = \left(1 – \frac{\sqrt{10}}{2}, 5 – \frac{\sqrt{10}}{2}\right)\]
- \left. y = x^2 + 3x – 2\atop y = 3x^2 + 4 \right\}
Podemos igualar las dos ecuaciones para obtener:
\[x^2 + 3x – 2 = 3x^2 + 4\]
Reorganizamos la ecuación:
\[3x^2 – x^2 + 3x – 3x – 2 – 4 = 0\]
Simplificamos:
\[2x^2 – 6 = 0\]
Factorizamos:
\[2(x^2 – 3) = 0\]
Esto nos da dos posibles soluciones para x:
\[x_1 = \sqrt{3}\]
\[x_2 = -\sqrt{3}\]
Sustituimos estas soluciones en una de las ecuaciones originales, por ejemplo, en la primera ecuación:
\[y = x^2 + 3x – 2\]
Para \(x_1 = \sqrt{3}\):
\[y_1 = (\sqrt{3})^2 + 3(\sqrt{3}) – 2 = 3 + 3\sqrt{3} – 2 = 1 + 3\sqrt{3}\]
Para \(x_2 = -\sqrt{3}\):
\[y_2 = (-\sqrt{3})^2 + 3(-\sqrt{3}) – 2 = 3 – 3\sqrt{3} – 2 = 1 – 3\sqrt{3}\]
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:
\[(x_1, y_1) = (\sqrt{3}, 1 + 3\sqrt{3})\]
\[(x_2, y_2) = (-\sqrt{3}, 1 – 3\sqrt{3})\]
Ejercicios que involucran el Teorema del Valor Intermedio
-
Demuestra que la ecuación x^3+x−1=0 tiene al menos una solución en el intervalo [0,1][0,1].
Para demostrar que la ecuación \(x^3 + x – 1 = 0\) tiene al menos una solución en el intervalo \([0, 1]\), podemos aplicar el Teorema del Valor Intermedio.
El Teorema del Valor Intermedio establece que si una función \(f(x)\) es continua en un intervalo cerrado \([a, b]\) y toma valores distintos en los extremos del intervalo, entonces para cualquier valor \(c\) entre \(f(a)\) y \(f(b)\), existe al menos un valor \(x\) en el intervalo \([a, b]\) tal que \(f(x) = c\).
En este caso, consideramos la función \(f(x) = x^3 + x – 1\), que es continua en todo el intervalo \([0, 1]\).
Evaluamos los extremos del intervalo en la función:
\(f(0) = (0)^3 + 0 – 1 = -1\)
\(f(1) = (1)^3 + 1 – 1 = 1\)
Observamos que \(f(0)\) es negativo y \(f(1)\) es positivo.
Por lo tanto, según el Teorema del Valor Intermedio, dado que \(f(x)\) es continua en \([0, 1]\) y toma valores negativos y positivos en los extremos del intervalo, debe existir al menos un valor \(x\) en el intervalo \([0, 1]\) tal que \(f(x) = 0\), es decir, \(x^3 + x – 1 = 0\) tiene al menos una solución en el intervalo \([0, 1]\).
- Demuestra que la ecuación \sin(x) + x = 2 tiene al menos una solución en el intervalo [0, \frac{\pi}{2}].
Para demostrar que la ecuación \(\sin(x) + x = 2\) tiene al menos una solución en el intervalo \([0, \frac{\pi}{2}]\), utilizaremos el Teorema del Valor Intermedio.
Primero, observamos que la función \(f(x) = \sin(x) + x\) es continua en todo el intervalo \([0, \frac{\pi}{2}]\).
Evaluamos los extremos del intervalo en la función:
\(f(0) = \sin(0) + 0 = 0\)
\(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{\pi}{2}\)
Observamos que \(f(0)\) es igual a 0 y \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) es mayor a 2.
Ahora, utilizando el Teorema del Valor Intermedio, podemos concluir que debido a que \(f(x)\) es continua en \([0, \frac{\pi}{2}]\) y toma valores de 0 a \(1 + \frac{\pi}{2}\) en los extremos del intervalo, debe existir al menos un valor \(x\) en el intervalo \([0, \frac{\pi}{2}]\) tal que \(f(x) = 2\).
Por lo tanto, la ecuación \(\sin(x) + x = 2\) tiene al menos una solución en el intervalo \([0, \frac{\pi}{2}]\).
- Demuestra que la función f(x) = e^x – \cos(x) tiene al menos una solución en el intervalo [-1, 1].
Para demostrar que la función \(f(x) = e^x – \cos(x)\) tiene al menos una solución en el intervalo \([-1, 1]\), utilizaremos el Teorema del Valor Intermedio.
Primero, notamos que la función \(f(x)\) es continua en todo el intervalo \([-1, 1]\), ya que \(e^x\) y \(\cos(x)\) son funciones continuas en todos los números reales.
Evaluamos los extremos del intervalo en la función:
\(f(-1) = e^{-1} – \cos(-1) \approx 1.36\)
\(f(1) = e^1 – \cos(1) \approx 2.72\)
Observamos que \(f(-1)\) es menor a 0 y \(f(1)\) es mayor a 0.
Por lo tanto, según el Teorema del Valor Intermedio, dado que \(f(x)\) es continua en \([-1, 1]\) y toma valores negativos y positivos en los extremos del intervalo, debe existir al menos un valor \(x\) en el intervalo \([-1, 1]\) tal que \(f(x) = 0\), es decir, la función \(f(x) = e^x – \cos(x)\) tiene al menos una solución en el intervalo \([-1, 1]\).