Las inecuaciones en una variable son desigualdades algebraicas que involucran a una variable y se expresan utilizando los símbolos < (menor que), > (mayor que), \leq (menor o igual que) o \geq (mayor o igual que).
La resolución de inecuaciones en una variable se basa en las propiedades de la desigualdad y las operaciones algebraicas. Aquí hay algunos conceptos clave relacionados con las inecuaciones en una variable:
- Desigualdades y su representación gráfica: Una inecuación puede representar una región en la recta numérica o en el plano cartesiano. Por ejemplo, la inecuación x > 3 representa todos los números mayores que 3 y se puede representar en una recta numérica con un punto abierto en el 3 y una flecha hacia la derecha.
- Reglas de desigualdad: Las reglas de desigualdad son similares a las reglas de igualdad, pero con algunas diferencias. Por ejemplo, si multiplicamos o dividimos ambos lados de una inecuación por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. Por lo tanto, es importante tener en cuenta estas reglas al realizar operaciones en inecuaciones.
- Solución de inecuaciones: La solución de una inecuación es el conjunto de valores que satisfacen la desigualdad. Puede ser un conjunto de números reales o un intervalo en la recta numérica. La solución se encuentra al realizar operaciones algebraicas para aislar la variable en un lado de la desigualdad.
- Intersección de inecuaciones: A veces, es necesario resolver un sistema de inecuaciones, es decir, encontrar los valores que satisfacen dos o más inecuaciones simultáneamente. La solución de un sistema de inecuaciones es la intersección de las soluciones individuales de cada inecuación.
Es importante practicar resolviendo diversos tipos de inecuaciones y comprender las propiedades de la desigualdad para desarrollar habilidades sólidas en la resolución de inecuaciones en una variable.
Ejercicios de inecuaciones de primer grado
Recuerda que para resolver estas inecuaciones, debes aplicar las mismas operaciones y propiedades que utilizas en las ecuaciones, pero teniendo en cuenta las reglas de cambio de signo cuando se multiplica o divide por un número negativo. También debes recordar que, en algunos casos, puede ser necesario simplificar y reorganizar la inecuación antes de resolverla.
- 2x + 3 < 7
Para resolver la inecuación 2x + 3 < 7, vamos a despejar la variable x:
2x + 3 < 7
Restamos 3 a ambos lados de la desigualdad:
2x < 7 – 3
2x < 4
Dividimos ambos lados de la desigualdad por 2:
x < 4/2
x < 2
La solución para esta inecuación es x < 2. Esto significa que cualquier número menor a 2 es una solución válida.
- -4x – 5 > 3x + 2
Para resolver la inecuación -4x – 5 > 3x + 2, vamos a despejar la variable x:
-4x – 5 > 3x + 2
Sumamos 4x a ambos lados de la desigualdad:
-5 > 3x + 2 + 4x
Simplificamos la expresión:
-5 > 7x + 2
Restamos 2 a ambos lados de la desigualdad:
-5 – 2 > 7x
-7 > 7x
Dividimos ambos lados de la desigualdad por 7. Debemos tener en cuenta que al dividir por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad:
-7/7 < x
-1 < x
La solución para esta inecuación es x > -1. Esto significa que cualquier número mayor a -1 es una solución válida.
- 2(x – 3) ≥ 4x – 8
Para resolver la inecuación 2(x – 3) ≥ 4x – 8, vamos a despejar la variable x:
2(x – 3) ≥ 4x – 8
Distribuimos el 2 en el lado izquierdo de la desigualdad:
2x – 6 ≥ 4x – 8
Restamos 2x a ambos lados de la desigualdad:
-6 ≥ 2x – 8
Sumamos 8 a ambos lados de la desigualdad:
2 ≥ 2x – 6
Sumamos 6 a ambos lados de la desigualdad:
8 ≥ 2x
Dividimos por 2 en ambos lados de la desigualdad. Debemos tener en cuenta que al dividir por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad:
4 ≥ x
La solución para esta inecuación es x ≤ 4. Esto significa que cualquier número menor o igual a 4 es una solución válida.
- 3x + 2 ≤ 5x – 1
Para resolver la inecuación 3x + 2 ≤ 5x – 1, vamos a despejar la variable x:
3x + 2 ≤ 5x – 1
Restamos 3x a ambos lados de la desigualdad:
2 ≤ 2x – 1
Sumamos 1 a ambos lados de la desigualdad:
3 ≤ 2x
Dividimos por 2 en ambos lados de la desigualdad:
3/2 ≤ x
La solución para esta inecuación es x ≥ 3/2. Esto significa que cualquier número mayor o igual a 3/2 es una solución válida.
- -2x + 4 > 2(x – 1)
Para resolver la inecuación -2x + 4 > 2(x – 1), vamos a despejar la variable x:
-2x + 4 > 2(x – 1)
Distribuimos el 2 en el lado derecho de la desigualdad:
-2x + 4 > 2x – 2
Sumamos 2x a ambos lados de la desigualdad:
4 > 4x – 2
Sumamos 2 a ambos lados de la desigualdad:
6 > 4x
Dividimos por 4 en ambos lados de la desigualdad:
6/4 > x
Simplificamos:
3/2 > x
La solución para esta inecuación es x < 3/2. Esto significa que cualquier número menor a 3/2 es una solución válida.
- 2(x + 3) – 5 < x – 4
Para resolver la inecuación 2(x + 3) – 5 < x – 4, vamos a despejar la variable x:
2(x + 3) – 5 < x – 4
Distribuimos el 2 en el lado izquierdo de la desigualdad:
2x + 6 – 5 < x – 4
Simplificamos la expresión:
2x + 1 < x – 4
Restamos x a ambos lados de la desigualdad:
2x – x + 1 < -4
Simplificamos la expresión:
x + 1 < -4
Restamos 1 a ambos lados de la desigualdad:
x < -4 – 1
Simplificamos la expresión:
x < -5
La solución para esta inecuación es x < -5. Esto significa que cualquier número menor a -5 es una solución válida.
- 3x – 2 ≤ 2(3x + 1)
Para resolver la inecuación 3x – 2 ≤ 2(3x + 1), vamos a despejar la variable x:
3x – 2 ≤ 2(3x + 1)
Distribuimos el 2 en el lado derecho de la desigualdad:
3x – 2 ≤ 6x + 2
Restamos 6x a ambos lados de la desigualdad:
3x – 6x – 2 ≤ 2
Simplificamos la expresión:
-3x – 2 ≤ 2
Sumamos 2 a ambos lados de la desigualdad:
-3x – 2 + 2 ≤ 2 + 2
Simplificamos la expresión:
-3x ≤ 4
Dividimos por -3 en ambos lados de la desigualdad. Recuerda que al dividir por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad:
x ≥ 4/(-3)
Simplificamos la expresión:
x ≥ -4/3
La solución para esta inecuación es x ≥ -4/3. Esto significa que cualquier número mayor o igual a -4/3 es una solución válida.
- 4(x – 2) + 5 > 2(2x + 3)
Para resolver la inecuación 4(x – 2) + 5 > 2(2x + 3), vamos a despejar la variable x:
4(x – 2) + 5 > 2(2x + 3)
Distribuimos el 4 en el lado izquierdo de la desigualdad:
4x – 8 + 5 > 4x + 6
Simplificamos la expresión:
4x – 3 > 4x + 6
Restamos 4x a ambos lados de la desigualdad:
4x – 4x – 3 > 4x – 4x + 6
Simplificamos la expresión:
-3 > 6
Esta inecuación no tiene solución porque -3 no es mayor que 6. No hay valores de x que satisfagan la desigualdad.
- -3x + 2 ≥ 5 – 2x
Para resolver la inecuación -3x + 2 ≥ 5 – 2x, vamos a despejar la variable x:
-3x + 2 ≥ 5 – 2x
Sumamos 2x a ambos lados de la desigualdad:
-3x + 2x + 2 ≥ 5 – 2x + 2x
Simplificamos la expresión:
-x + 2 ≥ 5
Restamos 2 a ambos lados de la desigualdad:
-x + 2 – 2 ≥ 5 – 2
Simplificamos la expresión:
-x ≥ 3
Multiplicamos por -1 en ambos lados de la desigualdad. Recuerda que al multiplicar por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad:
x ≤ -3
La solución para esta inecuación es x ≤ -3. Esto significa que cualquier número menor o igual a -3 es una solución válida.
- 2(x + 1) > 3x – 5
Para resolver la inecuación 2(x + 1) > 3x – 5, vamos a despejar la variable x:
2(x + 1) > 3x – 5
Distribuimos el 2 en el lado izquierdo de la desigualdad:
2x + 2 > 3x – 5
Restamos 3x a ambos lados de la desigualdad:
2x – 3x + 2 > 3x – 3x – 5
Simplificamos la expresión:
-x + 2 > -5
Restamos 2 a ambos lados de la desigualdad:
-x + 2 – 2 > -5 – 2
Simplificamos la expresión:
-x > -7
Multiplicamos por -1 en ambos lados de la desigualdad. Recuerda que al multiplicar por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad:
x < 7
La solución para esta inecuación es x < 7. Esto significa que cualquier número menor a 7 es una solución válida.
Ejercicios de inecuaciones cuadráticas o de segundo grado
Recuerda que para resolver estas inecuaciones cuadráticas, debes factorizar el polinomio, encontrar los puntos críticos y determinar los intervalos en los que la función es mayor o menor que cero. También puedes utilizar la fórmula general o completar el cuadrado para resolverlas.
- x^2 – 5x + 6 > 0
Para resolver la inecuación cuadrática x^2 – 5x + 6 > 0, vamos a encontrar los puntos críticos y determinar los intervalos en los que la función es mayor que cero.
Empezamos factorizando el polinomio:
x^2 – 5x + 6 = 0
(x – 3)(x – 2) = 0
Esto nos da dos soluciones: x = 3 y x = 2.
Ahora vamos a graficar la función y determinar los intervalos en los que la función es mayor que cero. Para ello, podemos utilizar un método gráfico o analizar los signos del polinomio en intervalos cercanos a las soluciones.
Tomemos tres intervalos: (-∞, 2), (2, 3), y (3, ∞).
Evaluamos el polinomio en un punto dentro de cada intervalo:
– Para el intervalo (-∞, 2), tomemos x = 0:
(0)^2 – 5(0) + 6 = 6
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, el polinomio es positivo en ese intervalo.
– Para el intervalo (2, 3), tomemos x = 2.5:
(2.5)^2 – 5(2.5) + 6 ≈ 2.75
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, el polinomio es positivo en ese intervalo.
– Para el intervalo (3, ∞), tomemos x = 4:
(4)^2 – 5(4) + 6 = 14
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, el polinomio es positivo en ese intervalo.
Entonces, la solución para la inecuación es que el polinomio x^2 – 5x + 6 es mayor que cero en todos los valores de x en los intervalos (-∞, 2), (2, 3), y (3, ∞).
- 2x^2 + 3x – 4 < 0
Para resolver la inecuación cuadrática 2x^2 + 3x – 4 < 0, vamos a encontrar los puntos críticos y determinar los intervalos en los que la función es menor que cero.
Empezamos factorizando el polinomio:
2x^2 + 3x – 4 = 0
(x – 1)(2x + 4) = 0
Esto nos da dos soluciones: x = 1 y x = -2.
Ahora vamos a graficar la función y determinar los intervalos en los que la función es menor que cero. Para ello, podemos utilizar un método gráfico o analizar los signos del polinomio en intervalos cercanos a las soluciones.
Tomemos tres intervalos: (-∞, -2), (-2, 1), y (1, ∞).
Evaluamos el polinomio en un punto dentro de cada intervalo:
– Para el intervalo (-∞, -2), tomemos x = -3:
2(-3)^2 + 3(-3) – 4 = 7
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, el polinomio es positivo en ese intervalo.
– Para el intervalo (-2, 1), tomemos x = 0:
2(0)^2 + 3(0) – 4 = -4
El resultado es menor que cero, por lo tanto, el polinomio es negativo en ese intervalo.
– Para el intervalo (1, ∞), tomemos x = 2:
2(2)^2 + 3(2) – 4 = 10
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, el polinomio es positivo en ese intervalo.
Entonces, la solución para la inecuación es que el polinomio 2x^2 + 3x – 4 es menor que cero en el intervalo (-2, 1).
- -x^2 + 4x – 3 ≥ 0
Para resolver la inecuación cuadrática -x^2 + 4x – 3 ≥ 0, vamos a encontrar los puntos críticos y determinar los intervalos en los que la función es mayor o igual a cero.
Empezamos factorizando el polinomio:
-x^2 + 4x – 3 = 0
(x – 3)(x – 1) = 0
Esto nos da dos soluciones: x = 3 y x = 1.
Ahora vamos a graficar la función y determinar los intervalos en los que la función es mayor o igual a cero. Para ello, podemos utilizar un método gráfico o analizar los signos del polinomio en intervalos cercanos a las soluciones.
Tomemos tres intervalos: (-∞, 1), (1, 3), y (3, ∞).
Evaluamos el polinomio en un punto dentro de cada intervalo:
– Para el intervalo (-∞, 1), tomemos x = 0:
-(0)^2 + 4(0) – 3 = -3
El resultado es menor que cero, por lo tanto, el polinomio es negativo en ese intervalo.
– Para el intervalo (1, 3), tomemos x = 2:
-(2)^2 + 4(2) – 3 = 1
El resultado es mayor o igual a cero, por lo tanto, el polinomio es no negativo en ese intervalo.
– Para el intervalo (3, ∞), tomemos x = 4:
-(4)^2 + 4(4) – 3 = 9
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, el polinomio es positivo en ese intervalo.
Entonces, la solución para la inecuación es que el polinomio -x^2 + 4x – 3 es mayor o igual a cero en los intervalos (1, 3) y (3, ∞).
- 3x^2 + 2x + 1 ≤ 0
Para resolver la inecuación cuadrática 3x^2 + 2x + 1 ≤ 0, vamos a encontrar los puntos críticos y determinar los intervalos en los que la función es menor o igual a cero.
Empezamos observando el coeficiente principal del término cuadrático, que en este caso es positivo (3). Esto nos indica que la parábola abre hacia arriba.
Para encontrar los puntos críticos, podemos usar la fórmula x = -b/2a, donde a es el coeficiente del término cuadrático y b es el coeficiente del término lineal.
En este caso, a = 3 y b = 2. Sustituyendo en la fórmula, obtenemos:
x = -2 / (2 * 3) = -1/3
El punto crítico es x = -1/3.
Ahora vamos a graficar la función y determinar los intervalos en los que la función es menor o igual a cero. Para ello, podemos utilizar un método gráfico o analizar los signos del polinomio en intervalos cercanos al punto crítico.
Tomemos tres intervalos: (-∞, -1/3), (-1/3, ∞).
Evaluamos el polinomio en un punto dentro de cada intervalo:
– Para el intervalo (-∞, -1/3), tomemos x = -1:
3(-1)^2 + 2(-1) + 1 = 2
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, el polinomio es positivo en ese intervalo.
– Para el intervalo (-1/3, ∞), tomemos x = 0:
3(0)^2 + 2(0) + 1 = 1
El resultado es mayor o igual a cero, por lo tanto, el polinomio es no negativo en ese intervalo.
Entonces, la solución para la inecuación es que el polinomio 3x^2 + 2x + 1 es menor o igual a cero en el intervalo (-1/3, ∞).
- -2x^2 – 4x + 6 > 0
Para resolver la inecuación cuadrática -2x^2 – 4x + 6 > 0, vamos a encontrar los puntos críticos y determinar los intervalos en los que la función es mayor que cero.
Empezamos observando el coeficiente principal del término cuadrático, que en este caso es negativo (-2). Esto nos indica que la parábola abre hacia abajo.
Para encontrar los puntos críticos, podemos usar la fórmula x = -b/2a, donde a es el coeficiente del término cuadrático y b es el coeficiente del término lineal.
En este caso, a = -2 y b = -4. Sustituyendo en la fórmula, obtenemos:
x = -(-4) / (2 * -2) = 4 / -4 = -1
El punto crítico es x = -1.
Ahora vamos a graficar la función y determinar los intervalos en los que la función es mayor que cero. Para ello, podemos utilizar un método gráfico o analizar los signos del polinomio en intervalos cercanos al punto crítico.
Tomemos tres intervalos: (-∞, -1), (-1, ∞).
Evaluamos el polinomio en un punto dentro de cada intervalo:
– Para el intervalo (-∞, -1), tomemos x = -2:
-2(-2)^2 – 4(-2) + 6 = 14
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, el polinomio es positivo en ese intervalo.
– Para el intervalo (-1, ∞), tomemos x = 0:
-2(0)^2 – 4(0) + 6 = 6
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, el polinomio es positivo en ese intervalo.
Entonces, la solución para la inecuación es que el polinomio -2x^2 – 4x + 6 es mayor que cero en todos los valores de x en los intervalos (-∞, -1) y (-1, ∞).
- 4x^2 – 9 < 0
Para resolver la inecuación cuadrática 4x^2 – 9 < 0, vamos a encontrar los puntos críticos y determinar los intervalos en los que la función es menor que cero.
Empezamos observando el coeficiente principal del término cuadrático, que en este caso es positivo (4). Esto nos indica que la parábola abre hacia arriba.
Para resolver la inecuación, vamos a encontrar los puntos en los que la función se hace cero. Para ello, igualamos la función a cero:
4x^2 – 9 = 0
Podemos factorizar la expresión como la diferencia de cuadrados:
(2x – 3)(2x + 3) = 0
Esto nos da dos soluciones: x = 3/2 y x = -3/2.
Ahora vamos a graficar la función y determinar los intervalos en los que la función es menor que cero. Para ello, podemos utilizar un método gráfico o analizar los signos del polinomio en intervalos cercanos a los puntos críticos.
Tomemos tres intervalos: (-∞, -3/2), (-3/2, 3/2), y (3/2, ∞).
Evaluamos la función en un punto dentro de cada intervalo:
– Para el intervalo (-∞, -3/2), tomemos x = -2:
4(-2)^2 – 9 = 19
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, la función es positiva en ese intervalo.
– Para el intervalo (-3/2, 3/2), tomemos x = 0:
4(0)^2 – 9 = -9
El resultado es menor que cero, por lo tanto, la función es negativa en ese intervalo.
– Para el intervalo (3/2, ∞), tomemos x = 2:
4(2)^2 – 9 = 23
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, la función es positiva en ese intervalo.
Entonces, la solución para la inecuación es que el polinomio 4x^2 – 9 es menor que cero en el intervalo (-3/2, 3/2).
- x^2 – 6x + 8 ≥ 0
Para resolver la inecuación cuadrática x^2 – 6x + 8 ≥ 0, vamos a encontrar los puntos críticos y determinar los intervalos en los que la función es mayor o igual a cero.
Empezamos observando el coeficiente principal del término cuadrático, que en este caso es positivo (1). Esto nos indica que la parábola abre hacia arriba.
Para resolver la inecuación, vamos a encontrar los puntos en los que la función se hace cero. Para ello, igualamos la función a cero:
x^2 – 6x + 8 = 0
Podemos factorizar la expresión como (x – 2)(x – 4) = 0.
Esto nos da dos soluciones: x = 2 y x = 4.
Ahora vamos a graficar la función y determinar los intervalos en los que la función es mayor o igual a cero. Para ello, podemos utilizar un método gráfico o analizar los signos del polinomio en intervalos cercanos a los puntos críticos.
Tomemos tres intervalos: (-∞, 2), (2, 4), y (4, ∞).
Evaluamos la función en un punto dentro de cada intervalo:
– Para el intervalo (-∞, 2), tomemos x = 1:
(1)^2 – 6(1) + 8 = 3
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, la función es positiva en ese intervalo.
– Para el intervalo (2, 4), tomemos x = 3:
(3)^2 – 6(3) + 8 = 2
El resultado es mayor o igual a cero, por lo tanto, la función es no negativa en ese intervalo.
– Para el intervalo (4, ∞), tomemos x = 5:
(5)^2 – 6(5) + 8 = 7
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, la función es positiva en ese intervalo.
Entonces, la solución para la inecuación es que la función x^2 – 6x + 8 es mayor o igual a cero en los intervalos (-∞, 2) y (2, 4).
- 2x^2 + 5x + 2 ≤ 0
Para resolver la inecuación cuadrática 2x^2 + 5x + 2 ≤ 0, vamos a encontrar los puntos críticos y determinar los intervalos en los que la función es menor o igual a cero.
Empezamos observando el coeficiente principal del término cuadrático, que en este caso es positivo (2). Esto nos indica que la parábola abre hacia arriba.
Para resolver la inecuación, vamos a encontrar los puntos en los que la función se hace cero. Para ello, igualamos la función a cero:
2x^2 + 5x + 2 = 0
Podemos factorizar la expresión como (2x + 1)(x + 2) = 0.
Esto nos da dos soluciones: x = -2 y x = -1/2.
Ahora vamos a graficar la función y determinar los intervalos en los que la función es menor o igual a cero. Para ello, podemos utilizar un método gráfico o analizar los signos del polinomio en intervalos cercanos a los puntos críticos.
Tomemos tres intervalos: (-∞, -2), (-2, -1/2), y (-1/2, ∞).
Evaluamos la función en un punto dentro de cada intervalo:
– Para el intervalo (-∞, -2), tomemos x = -3:
2(-3)^2 + 5(-3) + 2 = 20
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, la función es positiva en ese intervalo.
– Para el intervalo (-2, -1/2), tomemos x = -1:
2(-1)^2 + 5(-1) + 2 = 0
El resultado es igual a cero, por lo tanto, la función es igual a cero en ese intervalo.
– Para el intervalo (-1/2, ∞), tomemos x = 0:
2(0)^2 + 5(0) + 2 = 2
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, la función es positiva en ese intervalo.
Entonces, la solución para la inecuación es que la función 2x^2 + 5x + 2 es menor o igual a cero en el intervalo (-2, -1/2].
- -3x^2 + 5x – 2 > 0
Para resolver la inecuación cuadrática -3x^2 + 5x – 2 > 0, vamos a encontrar los puntos críticos y determinar los intervalos en los que la función es mayor que cero.
Empezamos observando el coeficiente principal del término cuadrático, que en este caso es negativo (-3). Esto nos indica que la parábola abre hacia abajo.
Para resolver la inecuación, vamos a encontrar los puntos en los que la función se hace cero. Para ello, igualamos la función a cero:
-3x^2 + 5x – 2 = 0
Podemos factorizar la expresión como (-x + 1)(3x – 2) = 0.
Esto nos da dos soluciones: x = 1 y x = 2/3.
Ahora vamos a graficar la función y determinar los intervalos en los que la función es mayor que cero. Para ello, podemos utilizar un método gráfico o analizar los signos del polinomio en intervalos cercanos a los puntos críticos.
Tomemos tres intervalos: (-∞, 2/3), (2/3, 1), y (1, ∞).
Evaluamos la función en un punto dentro de cada intervalo:
– Para el intervalo (-∞, 2/3), tomemos x = 0:
-3(0)^2 + 5(0) – 2 = -2
El resultado es menor que cero, por lo tanto, la función es negativa en ese intervalo.
– Para el intervalo (2/3, 1), tomemos x = 3/4:
-3(3/4)^2 + 5(3/4) – 2 = 11/16
El resultado es mayor que cero, por lo tanto, la función es positiva en ese intervalo.
– Para el intervalo (1, ∞), tomemos x = 2:
-3(2)^2 + 5(2) – 2 = -3
El resultado es menor que cero, por lo tanto, la función es negativa en ese intervalo.
Entonces, la solución para la inecuación es que la función -3x^2 + 5x – 2 es mayor que cero en el intervalo (2/3, 1).
Ejercicios de inecuaciones racionales
Recuerda que para resolver cada inecuación racional, deberás seguir los pasos generales que mencioné anteriormente: encontrar puntos críticos, determinar los intervalos de positividad y negatividad, y analizar el signo de la función racional en cada intervalo para obtener la solución.
- (2x – 1)/(x + 3) > 0
Para resolver la inecuación racional (2x – 1)/(x + 3) > 0, seguimos los siguientes pasos:
1. Encontrar los puntos críticos: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para encontrar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
x + 3 = 0
x = -3
El punto crítico es x = -3.
2. Determinar los intervalos en los que la función es positiva o negativa. Para ello, elegimos puntos de prueba en cada intervalo y evaluamos la función racional en esos puntos.
a) Intervalo (-∞, -3):
Tomamos x = -4:
(2(-4) – 1)/(-4 + 3) = -9/-1 = 9
El resultado es positivo.
b) Intervalo (-3, +∞):
Tomamos x = 0:
(2(0) – 1)/(0 + 3) = -1/3
El resultado es negativo.
3. Analizar el signo de la función racional en cada intervalo y determinar los intervalos de solución.
En el intervalo (-∞, -3), la función racional es positiva (> 0).
En el intervalo (-3, +∞), la función racional es negativa (< 0).
Por lo tanto, la solución de la inecuación racional (2x – 1)/(x + 3) > 0 es el intervalo (-∞, -3).
- (3x + 2)/(x – 5) < 0
Para resolver la inecuación racional (3x + 2)/(x – 5) < 0, vamos a seguir los siguientes pasos:
1. Encontrar los puntos críticos: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para encontrar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
x – 5 = 0
x = 5
El punto crítico es x = 5.
2. Determinar los intervalos en los que la función es positiva o negativa. Para ello, elegimos puntos de prueba en cada intervalo y evaluamos la función racional en esos puntos.
a) Intervalo (-∞, 5):
Tomamos x = 0:
(3(0) + 2)/(0 – 5) = 2/-5 = -2/5
El resultado es negativo.
b) Intervalo (5, +∞):
Tomamos x = 6:
(3(6) + 2)/(6 – 5) = 20/1 = 20
El resultado es positivo.
3. Analizar el signo de la función racional en cada intervalo y determinar los intervalos de solución.
En el intervalo (-∞, 5), la función racional es negativa (< 0).
En el intervalo (5, +∞), la función racional es positiva (> 0).
Por lo tanto, la solución de la inecuación racional (3x + 2)/(x – 5) < 0 es el intervalo (-∞, 5).
- (x^2 – 4)/(x + 2) ≥ 0
Para resolver la inecuación racional (x^2 – 4)/(x + 2) ≥ 0, seguimos los siguientes pasos:
1. Encontrar los puntos críticos: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para encontrar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
x + 2 = 0
x = -2
El punto crítico es x = -2.
2. Determinar los intervalos en los que la función es positiva o negativa. Para ello, elegimos puntos de prueba en cada intervalo y evaluamos la función racional en esos puntos.
a) Intervalo (-∞, -2):
Tomamos x = -3:
((-3)^2 – 4)/(-3 + 2) = (9 – 4)/(-1) = 5
El resultado es positivo.
b) Intervalo (-2, +∞):
Tomamos x = 0:
((0)^2 – 4)/(0 + 2) = (-4)/2 = -2
El resultado es negativo.
3. Analizar el signo de la función racional en cada intervalo y determinar los intervalos de solución.
En el intervalo (-∞, -2), la función racional es positiva o igual a cero (≥ 0).
En el intervalo (-2, +∞), la función racional es negativa o igual a cero (≤ 0).
Por lo tanto, la solución de la inecuación racional (x^2 – 4)/(x + 2) ≥ 0 es el intervalo (-∞, -2] ∪ [2, +∞).
- (x – 1)/(x^2 + x – 6) ≤ 0
Para resolver la inecuación racional (x – 1)/(x^2 + x – 6) ≤ 0, seguimos los siguientes pasos:
1. Encontrar los puntos críticos: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para encontrar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
x^2 + x – 6 = 0
(x – 2)(x + 3) = 0
x = 2, x = -3
Los puntos críticos son x = 2 y x = -3.
2. Determinar los intervalos en los que la función es positiva o negativa. Para ello, elegimos puntos de prueba en cada intervalo y evaluamos la función racional en esos puntos.
a) Intervalo (-∞, -3):
Tomamos x = -4:
((-4) – 1)/((-4)^2 + (-4) – 6) = -5/12
El resultado es negativo.
b) Intervalo (-3, 2):
Tomamos x = 0:
((0) – 1)/((0)^2 + (0) – 6) = -1/6
El resultado es negativo.
c) Intervalo (2, +∞):
Tomamos x = 3:
((3) – 1)/((3)^2 + (3) – 6) = 2/9
El resultado es positivo.
3. Analizar el signo de la función racional en cada intervalo y determinar los intervalos de solución.
En el intervalo (-∞, -3), la función racional es negativa o igual a cero (≤ 0).
En el intervalo (-3, 2), la función racional es negativa o igual a cero (≤ 0).
En el intervalo (2, +∞), la función racional es positiva o igual a cero (≥ 0).
Por lo tanto, la solución de la inecuación racional (x – 1)/(x^2 + x – 6) ≤ 0 es el intervalo (-∞, -3] ∪ (-3, 2].
- (2x^2 – 5x + 3)/(x^2 – 9) > 0
Para resolver la inecuación racional (2x^2 – 5x + 3)/(x^2 – 9) > 0, seguimos los siguientes pasos:
1. Encontrar los puntos críticos: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para encontrar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
x^2 – 9 = 0
(x – 3)(x + 3) = 0
x = 3, x = -3
Los puntos críticos son x = 3 y x = -3.
2. Determinar los intervalos en los que la función es positiva o negativa. Para ello, elegimos puntos de prueba en cada intervalo y evaluamos la función racional en esos puntos.
a) Intervalo (-∞, -3):
Tomamos x = -4:
(2(-4)^2 – 5(-4) + 3)/((-4)^2 – 9) = 63/7 = 9
El resultado es positivo.
b) Intervalo (-3, 3):
Tomamos x = 0:
(2(0)^2 – 5(0) + 3)/(0^2 – 9) = 3/-9 = -1/3
El resultado es negativo.
c) Intervalo (3, +∞):
Tomamos x = 4:
(2(4)^2 – 5(4) + 3)/(4^2 – 9) = 27/7
El resultado es positivo.
3. Analizar el signo de la función racional en cada intervalo y determinar los intervalos de solución.
En el intervalo (-∞, -3), la función racional es positiva (> 0).
En el intervalo (-3, 3), la función racional es negativa (< 0).
En el intervalo (3, +∞), la función racional es positiva (> 0).
Por lo tanto, la solución de la inecuación racional (2x^2 – 5x + 3)/(x^2 – 9) > 0 es el intervalo (-∞, -3) ∪ (3, +∞).
- (4x – 1)/(x^2 + 5x + 6) < 0
Para resolver la inecuación racional (4x – 1)/(x^2 + 5x + 6) < 0, seguimos los siguientes pasos:
1. Encontrar los puntos críticos: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para encontrar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
x^2 + 5x + 6 = 0
(x + 2)(x + 3) = 0
x = -2, x = -3
Los puntos críticos son x = -2 y x = -3.
2. Determinar los intervalos en los que la función es positiva o negativa. Para ello, elegimos puntos de prueba en cada intervalo y evaluamos la función racional en esos puntos.
a) Intervalo (-∞, -3):
Tomamos x = -4:
(4(-4) – 1)/((-4)^2 + 5(-4) + 6) = 17/30
El resultado es positivo.
b) Intervalo (-3, -2):
Tomamos x = -2.5:
(4(-2.5) – 1)/((-2.5)^2 + 5(-2.5) + 6) = -11/30
El resultado es negativo.
c) Intervalo (-2, +∞):
Tomamos x = 0:
(4(0) – 1)/(0^2 + 5(0) + 6) = -1/6
El resultado es negativo.
3. Analizar el signo de la función racional en cada intervalo y determinar los intervalos de solución.
En el intervalo (-∞, -3), la función racional es positiva (> 0).
En el intervalo (-3, -2), la función racional es negativa (< 0).
En el intervalo (-2, +∞), la función racional es negativa (< 0).
Por lo tanto, la solución de la inecuación racional (4x – 1)/(x^2 + 5x + 6) < 0 es el intervalo (-3, -2).
- (x^3 – 8)/(x^2 – 4x + 3) ≥ 0
Para resolver la inecuación racional (x^3 – 8)/(x^2 – 4x + 3) ≥ 0, seguimos los siguientes pasos:
1. Encontrar los puntos críticos: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para encontrar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
x^2 – 4x + 3 = 0
(x – 3)(x – 1) = 0
x = 3, x = 1
Los puntos críticos son x = 3 y x = 1.
2. Determinar los intervalos en los que la función es positiva o negativa. Para ello, elegimos puntos de prueba en cada intervalo y evaluamos la función racional en esos puntos.
a) Intervalo (-∞, 1):
Tomamos x = 0:
(0^3 – 8)/(0^2 – 4(0) + 3) = -8/3
El resultado es negativo.
b) Intervalo (1, 3):
Tomamos x = 2:
(2^3 – 8)/(2^2 – 4(2) + 3) = 0
El resultado es cero.
c) Intervalo (3, +∞):
Tomamos x = 4:
(4^3 – 8)/(4^2 – 4(4) + 3) = 8/3
El resultado es positivo.
3. Analizar el signo de la función racional en cada intervalo y determinar los intervalos de solución.
En el intervalo (-∞, 1), la función racional es negativa o igual a cero (≥ 0).
En el intervalo (1, 3), la función racional es igual a cero (≥ 0).
En el intervalo (3, +∞), la función racional es positiva o igual a cero (≥ 0).
Por lo tanto, la solución de la inecuación racional (x^3 – 8)/(x^2 – 4x + 3) ≥ 0 es el intervalo (-∞, 1] ∪ [3, +∞).
- (x^2 + 2)/(x^3 + 3x^2 – 4x) ≤ 0
Para resolver la inecuación racional (x^2 + 2)/(x^3 + 3x^2 – 4x) ≤ 0, seguimos los siguientes pasos:
1. Encontrar los puntos críticos: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para encontrar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
x^3 + 3x^2 – 4x = 0
x(x^2 + 3x – 4) = 0
x(x + 4)(x – 1) = 0
x = 0, x = -4, x = 1
Los puntos críticos son x = 0, x = -4 y x = 1.
2. Determinar los intervalos en los que la función es positiva o negativa. Para ello, elegimos puntos de prueba en cada intervalo y evaluamos la función racional en esos puntos.
a) Intervalo (-∞, -4):
Tomamos x = -5:
(-5^2 + 2)/(-5^3 + 3(-5^2) – 4(-5)) = 27/475
El resultado es positivo.
b) Intervalo (-4, 0):
Tomamos x = -2:
(-2^2 + 2)/(-2^3 + 3(-2^2) – 4(-2)) = 2/4 = 1/2
El resultado es positivo.
c) Intervalo (0, 1):
Tomamos x = 0.5:
(0.5^2 + 2)/(0.5^3 + 3(0.5^2) – 4(0.5)) = 8.5/0.125 = 68
El resultado es positivo.
d) Intervalo (1, +∞):
Tomamos x = 2:
(2^2 + 2)/(2^3 + 3(2^2) – 4(2)) = 6/12 = 1/2
El resultado es positivo.
3. Analizar el signo de la función racional en cada intervalo y determinar los intervalos de solución.
En el intervalo (-∞, -4), la función racional es positiva o igual a cero (≥ 0).
En el intervalo (-4, 0), la función racional es positiva o igual a cero (≥ 0).
En el intervalo (0, 1), la función racional es positiva o igual a cero (≥ 0).
En el intervalo (1, +∞), la función racional es positiva o igual a cero (≥ 0).
Por lo tanto, la solución de la inecuación racional (x^2 + 2)/(x^3 + 3x^2 – 4x) ≤ 0 es el intervalo (-∞, -4] ∪ [0, 1].
- (x^2 – 9)/(x^2 + 6x + 9) > 0
Para resolver la inecuación racional (x^2 – 9)/(x^2 + 6x + 9) > 0, seguimos los siguientes pasos:
1. Encontrar los puntos críticos: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para encontrar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
x^2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)^2 = 0
x = -3
El punto crítico es x = -3.
2. Determinar los intervalos en los que la función es positiva o negativa. Para ello, elegimos puntos de prueba en cada intervalo y evaluamos la función racional en esos puntos.
a) Intervalo (-∞, -3):
Tomamos x = -4:
(-4^2 – 9)/((-4^2) + 6(-4) + 9) = 7/1
El resultado es positivo.
b) Intervalo (-3, +∞):
Tomamos x = 0:
(0^2 – 9)/((0^2) + 6(0) + 9) = -9/9 = -1
El resultado es negativo.
3. Analizar el signo de la función racional en cada intervalo y determinar los intervalos de solución.
En el intervalo (-∞, -3), la función racional es positiva (> 0).
En el intervalo (-3, +∞), la función racional es negativa (< 0).
Por lo tanto, la solución de la inecuación racional (x^2 – 9)/(x^2 + 6x + 9) > 0 es el intervalo (-∞, -3).
- (x^3 – 2x)/(x^2 – 1) < 0
Para resolver la inecuación racional (x^3 – 2x)/(x^2 – 1) < 0, seguimos los siguientes pasos:
1. Encontrar los puntos críticos: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para encontrar los valores de x que hacen que el denominador sea cero.
x^2 – 1 = 0
(x + 1)(x – 1) = 0
x = -1, x = 1
Los puntos críticos son x = -1 y x = 1.
2. Determinar los intervalos en los que la función es positiva o negativa. Para ello, elegimos puntos de prueba en cada intervalo y evaluamos la función racional en esos puntos.
a) Intervalo (-∞, -1):
Tomamos x = -2:
(-2^3 – 2(-2))/((-2^2) – 1) = -10/3
El resultado es negativo.
b) Intervalo (-1, 1):
Tomamos x = 0:
(0^3 – 2(0))/((0^2) – 1) = 0
El resultado es cero.
c) Intervalo (1, +∞):
Tomamos x = 2:
(2^3 – 2(2))/((2^2) – 1) = 6/3 = 2
El resultado es positivo.
3. Analizar el signo de la función racional en cada intervalo y determinar los intervalos de solución.
En el intervalo (-∞, -1), la función racional es negativa (< 0).
En el intervalo (-1, 1), la función racional es igual a cero (≥ 0).
En el intervalo (1, +∞), la función racional es positiva (> 0).
Por lo tanto, la solución de la inecuación racional (x^3 – 2x)/(x^2 – 1) < 0 es el intervalo (-∞, -1).
Ejercicios de inecuaciones con radicales
- \sqrt{x + 2} > 3
Para resolver la inecuación $\sqrt{x + 2} > 3$, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Aislar el radical en un lado de la desigualdad:
$x + 2 > 3^2$
$x + 2 > 9$
2. Resolver la desigualdad:
$x > 9 – 2$
$x > 7$
Entonces, la solución de la inecuación es $x > 7$.
- \sqrt{3x – 4} \leq 2
Para resolver la inecuación $\sqrt{3x – 4} \leq 2$, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Aislar el radical en un lado de la desigualdad:
$\sqrt{3x – 4} \leq 2$
2. Elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad (teniendo en cuenta que estamos trabajando con radicales):
$(\sqrt{3x – 4})^2 \leq 2^2$
$3x – 4 \leq 4$
3. Resolver la desigualdad:
$3x \leq 4 + 4$
$3x \leq 8$
4. Dividir ambos lados de la desigualdad por 3:
$\frac{3x}{3} \leq \frac{8}{3}$
$x \leq \frac{8}{3}$
Entonces, la solución de la inecuación es $x \leq \frac{8}{3}$.
- \sqrt{2x + 1} + 1 > 4
Para resolver la inecuación $\sqrt{2x + 1} + 1 > 4$, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Aislar el radical en un lado de la desigualdad:
$\sqrt{2x + 1} + 1 > 4$
2. Restar 1 a ambos lados de la desigualdad:
$\sqrt{2x + 1} > 4 – 1$
$\sqrt{2x + 1} > 3$
3. Elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad (teniendo en cuenta que estamos trabajando con radicales):
$(\sqrt{2x + 1})^2 > 3^2$
$2x + 1 > 9$
4. Resolver la desigualdad:
$2x > 9 – 1$
$2x > 8$
5. Dividir ambos lados de la desigualdad por 2:
$\frac{2x}{2} > \frac{8}{2}$
$x > 4$
Entonces, la solución de la inecuación es $x > 4$.
- \sqrt{5x – 3} – 2 < 1
Para resolver la inecuación $\sqrt{5x – 3} – 2 < 1$, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Aislar el radical en un lado de la desigualdad:
$\sqrt{5x – 3} – 2 < 1$
2. Sumar 2 a ambos lados de la desigualdad:
$\sqrt{5x – 3} < 1 + 2$
$\sqrt{5x – 3} < 3$
3. Elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad (teniendo en cuenta que estamos trabajando con radicales):
$(\sqrt{5x – 3})^2 < 3^2$
$5x – 3 < 9$
4. Resolver la desigualdad:
$5x < 9 + 3$
$5x < 12$
5. Dividir ambos lados de la desigualdad por 5:
$\frac{5x}{5} < \frac{12}{5}$
$x < \frac{12}{5}$
Entonces, la solución de la inecuación es $x < \frac{12}{5}$.
- \sqrt{x + 1} + \sqrt{x – 2} \geq 4
Para resolver la inecuación $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x – 2} \geq 4$, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Aislar las raíces cuadradas en un lado de la desigualdad:
$\sqrt{x + 1} + \sqrt{x – 2} – 4 \geq 0$
2. Elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad (teniendo en cuenta que estamos trabajando con radicales):
$(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x – 2} – 4)^2 \geq 0$
3. Expandir el cuadrado:
$(\sqrt{x + 1})^2 + 2(\sqrt{x + 1})(\sqrt{x – 2}) + (\sqrt{x – 2})^2 – 8(\sqrt{x + 1}) – 8(\sqrt{x – 2}) + 16 \geq 0$
$x + 1 + 2\sqrt{(x + 1)(x – 2)} + x – 2 – 8\sqrt{x + 1} – 8\sqrt{x – 2} + 16 \geq 0$
$x + x + 1 – 2 – 8 – 2\sqrt{(x + 1)(x – 2)} – 8\sqrt{x + 1} – 8\sqrt{x – 2} + 16 \geq 0$
$2x + 7 – 2\sqrt{(x + 1)(x – 2)} – 8\sqrt{x + 1} – 8\sqrt{x – 2} \geq 0$
4. Simplificar la expresión:
$2x – 2\sqrt{(x + 1)(x – 2)} – 8\sqrt{x + 1} – 8\sqrt{x – 2} + 7 \geq 0$
5. Resolver la inecuación utilizando métodos algebraicos o gráficos.
La solución de esta inecuación dependerá del valor de $x$ y de las restricciones de los radicales involucrados. Puede ser necesario realizar una gráfica para determinar los valores que satisfacen la desigualdad.
- \sqrt{2x – 1} – \sqrt{x + 3} < 2
Para resolver la inecuación $\sqrt{2x – 1} – \sqrt{x + 3} < 2$, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Aislar las raíces cuadradas en un lado de la desigualdad:
$\sqrt{2x – 1} – \sqrt{x + 3} – 2 < 0$
2. Elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad (teniendo en cuenta que estamos trabajando con radicales):
$(\sqrt{2x – 1} – \sqrt{x + 3} – 2)^2 < 0$
3. Expandir el cuadrado:
$(\sqrt{2x – 1})^2 + 2(\sqrt{2x – 1})(\sqrt{x + 3}) + (\sqrt{x + 3})^2 – 2\sqrt{2x – 1}(\sqrt{x + 3}) – 4\sqrt{2x – 1} – 2\sqrt{x + 3}\sqrt{2x – 1} + 4\sqrt{2x – 1} + 4\sqrt{x + 3} – 4 < 0$
$2x – 1 + 2\sqrt{(2x – 1)(x + 3)} + x + 3 – 2\sqrt{2x – 1}(x + 3) – 4\sqrt{2x – 1} – 2\sqrt{x + 3}\sqrt{2x – 1} + 4\sqrt{2x – 1} + 4\sqrt{x + 3} – 4 < 0$
$3x + 2 + 2\sqrt{(2x – 1)(x + 3)} – 2\sqrt{2x – 1}(x + 3) + 4\sqrt{x + 3} – 4 < 0$
4. Simplificar la expresión:
$3x + 2 + 2\sqrt{(2x – 1)(x + 3)} – 2\sqrt{2x^2 + 6x – 2}(x + 3) + 4\sqrt{x + 3} – 4 < 0$
5. Resolver la inecuación utilizando métodos algebraicos o gráficos.
La solución de esta inecuación dependerá del valor de $x$ y de las restricciones de los radicales involucrados. Puede ser necesario realizar una gráfica para determinar los valores que satisfacen la desigualdad.
- \sqrt{3x + 2} > \sqrt{x – 1} + 1
Para resolver la inecuación $\sqrt{3x + 2} > \sqrt{x – 1} + 1$, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Aislar las raíces cuadradas en un lado de la desigualdad:
$\sqrt{3x + 2} – (\sqrt{x – 1} + 1) > 0$
2. Simplificar la expresión:
$\sqrt{3x + 2} – \sqrt{x – 1} – 1 > 0$
3. Elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad (teniendo en cuenta que estamos trabajando con radicales):
$(\sqrt{3x + 2} – \sqrt{x – 1} – 1)^2 > 0$
4. Expandir el cuadrado:
$(\sqrt{3x + 2})^2 + (\sqrt{x – 1})^2 + 1^2 – 2\sqrt{3x + 2}\sqrt{x – 1} – 2\sqrt{3x + 2} – 2\sqrt{x – 1} + 2\sqrt{x – 1}\sqrt{3x + 2} – 2\sqrt{3x + 2} + 2\sqrt{x – 1} + 2 > 0$
$3x + 2 + (x – 1) + 1 – 2\sqrt{3x + 2}\sqrt{x – 1} – 2\sqrt{3x + 2} – 2\sqrt{x – 1} + 2\sqrt{x – 1}\sqrt{3x + 2} – 2\sqrt{3x + 2} + 2\sqrt{x – 1} + 2 > 0$
$4x + 4 – 2\sqrt{3x + 2}\sqrt{x – 1} – 4\sqrt{3x + 2} – 2\sqrt{x – 1} + 2\sqrt{x – 1}\sqrt{3x + 2} > 0$
$4x – 2\sqrt{3x + 2}\sqrt{x – 1} – 4\sqrt{3x + 2} + 2\sqrt{x – 1}\sqrt{3x + 2} > -6$
5. Resolver la inecuación utilizando métodos algebraicos o gráficos.
La solución de esta inecuación dependerá del valor de $x$ y de las restricciones de los radicales involucrados. Puede ser necesario realizar una gráfica para determinar los valores que satisfacen la desigualdad.
- \sqrt{4x – 5} + \sqrt{x + 1} \leq \sqrt{2x + 3}
Para resolver la inecuación $\sqrt{4x – 5} + \sqrt{x + 1} \leq \sqrt{2x + 3}$, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Aislar las raíces cuadradas en un lado de la desigualdad:
$\sqrt{4x – 5} + \sqrt{x + 1} – \sqrt{2x + 3} \leq 0$
2. Elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad (teniendo en cuenta que estamos trabajando con radicales):
$(\sqrt{4x – 5} + \sqrt{x + 1} – \sqrt{2x + 3})^2 \leq 0$
3. Expandir el cuadrado:
$(\sqrt{4x – 5})^2 + 2(\sqrt{4x – 5})(\sqrt{x + 1}) + (\sqrt{x + 1})^2 – 2\sqrt{4x – 5}(\sqrt{x + 1}) – 2\sqrt{4x – 5}\sqrt{2x + 3} – 2\sqrt{x + 1}\sqrt{2x + 3} + (\sqrt{2x + 3})^2 \leq 0$
$4x – 5 + 2\sqrt{(4x – 5)(x + 1)} + x + 1 – 2\sqrt{4x – 5}(x + 1) – 2\sqrt{4x – 5}\sqrt{2x + 3} – 2\sqrt{x + 1}\sqrt{2x + 3} + 2x + 3 \leq 0$
$7x – 1 + 2\sqrt{(4x – 5)(x + 1)} – 2\sqrt{4x^2 + 8x – 15} – 2\sqrt{2x^2 + 7x + 3} – 2\sqrt{x^2 + x + 1} \leq 0$
4. Simplificar la expresión:
$7x – 1 + 2\sqrt{(4x – 5)(x + 1)} – 2\sqrt{4x^2 + 8x – 15} – 2\sqrt{2x^2 + 7x + 3} – 2\sqrt{x^2 + x + 1} \leq 0$
5. Resolver la inecuación utilizando métodos algebraicos o gráficos.
La solución de esta inecuación dependerá del valor de $x$ y de las restricciones de los radicales involucrados. Puede ser necesario realizar una gráfica para determinar los valores que satisfacen la desigualdad.
- \sqrt{x + 4} + 2\sqrt{x – 1} > 5
Para resolver la inecuación $\sqrt{x + 4} + 2\sqrt{x – 1} > 5$, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Aislar las raíces cuadradas en un lado de la desigualdad:
$\sqrt{x + 4} + 2\sqrt{x – 1} – 5 > 0$
2. Elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad (teniendo en cuenta que estamos trabajando con radicales):
$(\sqrt{x + 4} + 2\sqrt{x – 1} – 5)^2 > 0$
3. Expandir el cuadrado:
$(\sqrt{x + 4})^2 + 2(\sqrt{x + 4})(2\sqrt{x – 1}) + (2\sqrt{x – 1})^2 – 2\sqrt{x + 4}(2\sqrt{x – 1}) – 2\sqrt{x + 4}(5) – 2(2\sqrt{x – 1})(5) + (5)^2 > 0$
$x + 4 + 4\sqrt{x + 4}\sqrt{x – 1} + 4(x – 1) – 4\sqrt{x + 4}\sqrt{x – 1} – 10\sqrt{x + 4} – 20\sqrt{x – 1} + 25 > 0$
$x + 4 + 4(x – 1) – 10\sqrt{x + 4} – 20\sqrt{x – 1} + 25 > 0$
$5x – 11 – 10\sqrt{x + 4} – 20\sqrt{x – 1} > 0$
4. Resolver la inecuación utilizando métodos algebraicos o gráficos.
La solución de esta inecuación dependerá del valor de $x$ y de las restricciones de los radicales involucrados. Puede ser necesario realizar una gráfica para determinar los valores que satisfacen la desigualdad.
- 2\sqrt{x + 3} – \sqrt{x – 1} < 4
Para resolver la inecuación $2\sqrt{x + 3} – \sqrt{x – 1} < 4$, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Aislar las raíces cuadradas en un lado de la desigualdad:
$2\sqrt{x + 3} – \sqrt{x – 1} – 4 < 0$
2. Elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad (teniendo en cuenta que estamos trabajando con radicales):
$(2\sqrt{x + 3} – \sqrt{x – 1} – 4)^2 < 0$
3. Expandir el cuadrado:
$(2\sqrt{x + 3})^2 + 2(2\sqrt{x + 3})(-\sqrt{x – 1}) + (-\sqrt{x – 1})^2 – 2(2\sqrt{x + 3})(4) – 2(-\sqrt{x – 1})(4) + (4)^2 < 0$
$4(x + 3) – 4\sqrt{(x + 3)(x – 1)} + (x – 1) – 16\sqrt{x + 3} + 8\sqrt{x – 1} + 16 < 0$
$4x + 12 – 4\sqrt{x^2 + 2x – 3} + x – 1 – 16\sqrt{x + 3} + 8\sqrt{x – 1} + 16 < 0$
$5x + 27 – 4\sqrt{x^2 + 2x – 3} – 16\sqrt{x + 3} + 8\sqrt{x – 1} < 0$
4. Resolver la inecuación utilizando métodos algebraicos o gráficos.
La solución de esta inecuación dependerá del valor de $x$ y de las restricciones de los radicales involucrados. Puede ser necesario realizar una gráfica para determinar los valores que satisfacen la desigualdad.
Ejercicios de inecuaciones con valor absoluto
Recuerda que para resolver estas inecuaciones con valor absoluto, puedes considerar diferentes casos según el signo dentro del valor absoluto y aplicar las propiedades del valor absoluto. También puedes utilizar gráficas para visualizar las soluciones.
- |2x – 1| < 5
Para resolver la inecuación $|2x – 1| < 5$, debemos considerar dos casos: cuando el contenido absoluto es positivo y cuando es negativo. Veamos:
1) Caso 1: $2x – 1 > 0$ (contenido absoluto positivo):
En este caso, la inecuación se convierte en $2x – 1 < 5$. Resolvemos la desigualdad:
$2x – 1 < 5$
$2x < 6$
$x < 3$
2) Caso 2: $2x – 1 < 0$ (contenido absoluto negativo):
En este caso, la inecuación se convierte en $-(2x – 1) < 5$. Resolvemos la desigualdad:
$-2x + 1 < 5$
$-2x < 4$
$x > -2$
Entonces, combinando ambos casos, la solución de la inecuación es $-2 < x < 3$. Esto significa que el valor de $x$ debe estar entre -2 y 3 (exclusivos), para que se cumpla la desigualdad $|2x – 1| < 5$.
- |3x + 2| > 10
Para resolver la inecuación $|3x + 2| > 10$, también consideraremos dos casos: cuando el contenido absoluto es positivo y cuando es negativo. Veamos:
1) Caso 1: $3x + 2 > 0$ (contenido absoluto positivo):
En este caso, la inecuación se convierte en $3x + 2 > 10$. Resolvemos la desigualdad:
$3x + 2 > 10$
$3x > 8$
$x > \frac{8}{3}$
2) Caso 2: $3x + 2 < 0$ (contenido absoluto negativo):
En este caso, la inecuación se convierte en $-(3x + 2) > 10$. Resolvemos la desigualdad:
$-3x – 2 > 10$
$-3x > 12$
$x < -4$
Entonces, combinando ambos casos, la solución de la inecuación es $x < -4$ o $x > \frac{8}{3}$. Esto significa que el valor de $x$ debe ser menor que -4 o mayor que $\frac{8}{3}$, para que se cumpla la desigualdad $|3x + 2| > 10$.
- |x^2 – 4| \geq 3
Para resolver la inecuación $|x^2 – 4| \geq 3$, consideraremos dos casos: cuando el contenido absoluto es positivo y cuando es negativo. Veamos:
1) Caso 1: $x^2 – 4 > 0$ (contenido absoluto positivo):
En este caso, la inecuación se convierte en $x^2 – 4 \geq 3$. Resolvemos la desigualdad:
$x^2 – 4 \geq 3$
$x^2 \geq 7$
$x \geq \sqrt{7}$ o $x \leq -\sqrt{7}$
2) Caso 2: $x^2 – 4 < 0$ (contenido absoluto negativo):
En este caso, la inecuación se convierte en $-(x^2 – 4) \geq 3$. Resolvemos la desigualdad:
$-x^2 + 4 \geq 3$
$-x^2 \geq -1$
$x^2 \leq 1$
$x \leq 1$ o $x \geq -1$
Entonces, combinando ambos casos, la solución de la inecuación es $x \geq \sqrt{7}$ o $x \leq -\sqrt{7}$, o $x \leq 1$ o $x \geq -1$. Esto significa que el valor de $x$ debe ser mayor o igual que la raíz cuadrada de 7, o menor o igual que el negativo de la raíz cuadrada de 7, o menor o igual que 1, o mayor o igual que -1, para que se cumpla la desigualdad $|x^2 – 4| \geq 3$.
- |2x + 1| + |3x – 2| < 7
Para resolver la inecuación $|2x + 1| + |3x – 2| < 7$, vamos a considerar los diferentes casos según los valores dentro de los valores absolutos.
1) Caso 1: $2x + 1 \geq 0$ y $3x – 2 \geq 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $(2x + 1) + (3x – 2) < 7$. Resolvemos la desigualdad:
$2x + 1 + 3x – 2 < 7$
$5x – 1 < 7$
$5x < 8$
$x < \frac{8}{5}$
2) Caso 2: $2x + 1 \geq 0$ y $3x – 2 < 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $(2x + 1) – (3x – 2) < 7$. Resolvemos la desigualdad:
$2x + 1 – 3x + 2 < 7$
$-x + 3 < 7$
$-x < 4$
$x > -4$
3) Caso 3: $2x + 1 < 0$ y $3x – 2 \geq 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $-(2x + 1) + (3x – 2) < 7$. Resolvemos la desigualdad:
$-2x – 1 + 3x – 2 < 7$
$x – 3 < 7$
$x < 10$
4) Caso 4: $2x + 1 < 0$ y $3x – 2 < 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $-(2x + 1) – (3x – 2) < 7$. Resolvemos la desigualdad:
$-2x – 1 – 3x + 2 < 7$
$-5x + 1 < 7$
$-5x < 6$
$x > -\frac{6}{5}$
Entonces, combinando los casos, la solución de la inecuación es $-\frac{6}{5} < x < \frac{8}{5}$ o $x < -4$ o $x > 10$. Esto significa que el valor de $x$ debe estar dentro de estos intervalos para que se cumpla la desigualdad $|2x + 1| + |3x – 2| < 7$.
- |4x – 5| – |2x + 3| > 1
Para resolver la inecuación $|4x – 5| – |2x + 3| > 1$, vamos a considerar los diferentes casos según los valores dentro de los valores absolutos.
1) Caso 1: $4x – 5 \geq 0$ y $2x + 3 \geq 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $(4x – 5) – (2x + 3) > 1$. Resolvemos la desigualdad:
$4x – 5 – 2x – 3 > 1$
$2x – 8 > 1$
$2x > 9$
$x > \frac{9}{2}$
2) Caso 2: $4x – 5 \geq 0$ y $2x + 3 < 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $(4x – 5) + (2x + 3) > 1$. Resolvemos la desigualdad:
$4x – 5 + 2x + 3 > 1$
$6x – 2 > 1$
$6x > 3$
$x > \frac{1}{2}$
3) Caso 3: $4x – 5 < 0$ y $2x + 3 \geq 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $-(4x – 5) – (2x + 3) > 1$. Resolvemos la desigualdad:
$-4x + 5 – 2x – 3 > 1$
$-6x + 2 > 1$
$-6x > -1$
$x < \frac{1}{6}$
4) Caso 4: $4x – 5 < 0$ y $2x + 3 < 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $-(4x – 5) + (2x + 3) > 1$. Resolvemos la desigualdad:
$-4x + 5 + 2x + 3 > 1$
$-2x + 8 > 1$
$-2x > -7$
$x < \frac{7}{2}$
Entonces, combinando los casos, la solución de la inecuación es $\frac{1}{6} < x < \frac{9}{2}$ o $x < \frac{7}{2}$ o $x > \frac{1}{2}$. Esto significa que el valor de $x$ debe estar dentro de estos intervalos para que se cumpla la desigualdad $|4x – 5| – |2x + 3| > 1$.
- |x – 2| + |x + 3| \leq 6
Para resolver la inecuación $|x – 2| + |x + 3| \leq 6$, vamos a considerar los diferentes casos según los valores dentro de los valores absolutos.
1) Caso 1: $x – 2 \geq 0$ y $x + 3 \geq 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $(x – 2) + (x + 3) \leq 6$. Resolvemos la desigualdad:
$x – 2 + x + 3 \leq 6$
$2x + 1 \leq 6$
$2x \leq 5$
$x \leq \frac{5}{2}$
2) Caso 2: $x – 2 \geq 0$ y $x + 3 < 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $(x – 2) – (x + 3) \leq 6$. Resolvemos la desigualdad:
$x – 2 – x – 3 \leq 6$
$-5 \leq 6$
Esta desigualdad es verdadera para cualquier valor de $x$, por lo que no proporciona restricciones adicionales.
3) Caso 3: $x – 2 < 0$ y $x + 3 \geq 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $-(x – 2) + (x + 3) \leq 6$. Resolvemos la desigualdad:
$-x + 2 + x + 3 \leq 6$
$5 \leq 6$
Esta desigualdad también es verdadera para cualquier valor de $x$, por lo que no proporciona restricciones adicionales.
4) Caso 4: $x – 2 < 0$ y $x + 3 < 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $-(x – 2) – (x + 3) \leq 6$. Resolvemos la desigualdad:
$-x + 2 – x – 3 \leq 6$
$-2x – 1 \leq 6$
$-2x \leq 7$
$x \geq -\frac{7}{2}$
Entonces, combinando los casos, la solución de la inecuación es $-\frac{7}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$. Esto significa que el valor de $x$ debe estar dentro de este intervalo para que se cumpla la desigualdad $|x – 2| + |x + 3| \leq 6$.
- |x^2 – 9| < 4
Para resolver la inecuación $|x^2 – 9| < 4$, vamos a considerar los diferentes casos según los valores dentro del valor absoluto.
1) Caso 1: $x^2 – 9 \geq 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $(x^2 – 9) < 4$. Resolvemos la desigualdad:
$x^2 – 9 < 4$
$x^2 < 13$
$x < \sqrt{13}$ y $x > -\sqrt{13}$
2) Caso 2: $x^2 – 9 < 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $-(x^2 – 9) < 4$. Resolvemos la desigualdad:
$-x^2 + 9 < 4$
$-x^2 < -5$
$x^2 > 5$
$x > \sqrt{5}$ y $x < -\sqrt{5}$
Entonces, combinando los casos, la solución de la inecuación es $-\sqrt{13} < x < \sqrt{13}$ y $x > \sqrt{5}$ o $x < -\sqrt{5}$. Esto significa que el valor de $x$ debe estar dentro de estos intervalos para que se cumpla la desigualdad $|x^2 – 9| < 4$.
- |2x – 1| \geq 3
Para resolver la inecuación $|2x – 1| \geq 3$, vamos a considerar los diferentes casos según los valores dentro del valor absoluto.
1) Caso 1: $2x – 1 \geq 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $(2x – 1) \geq 3$. Resolvemos la desigualdad:
$2x – 1 \geq 3$
$2x \geq 4$
$x \geq 2$
2) Caso 2: $2x – 1 < 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $-(2x – 1) \geq 3$. Resolvemos la desigualdad:
$-2x + 1 \geq 3$
$-2x \geq 2$
$x \leq -1$
Entonces, combinando los casos, la solución de la inecuación es $x \leq -1$ o $x \geq 2$. Esto significa que el valor de $x$ debe ser menor o igual a -1 o mayor o igual a 2 para que se cumpla la desigualdad $|2x – 1| \geq 3$.
- |3x + 2| + |x – 1| \leq 8
Para resolver la inecuación $|3x + 2| + |x – 1| \leq 8$, vamos a considerar los diferentes casos según los valores dentro de los valores absolutos.
1) Caso 1: $3x + 2 \geq 0$ y $x – 1 \geq 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $(3x + 2) + (x – 1) \leq 8$. Resolvemos la desigualdad:
$3x + 2 + x – 1 \leq 8$
$4x + 1 \leq 8$
$4x \leq 7$
$x \leq \frac{7}{4}$
2) Caso 2: $3x + 2 \geq 0$ y $x – 1 < 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $(3x + 2) – (x – 1) \leq 8$. Resolvemos la desigualdad:
$3x + 2 – x + 1 \leq 8$
$2x + 3 \leq 8$
$2x \leq 5$
$x \leq \frac{5}{2}$
3) Caso 3: $3x + 2 < 0$ y $x – 1 \geq 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $-(3x + 2) + (x – 1) \leq 8$. Resolvemos la desigualdad:
$-3x – 2 + x – 1 \leq 8$
$-2x – 3 \leq 8$
$-2x \leq 11$
$x \geq -\frac{11}{2}$
4) Caso 4: $3x + 2 < 0$ y $x – 1 < 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $-(3x + 2) – (x – 1) \leq 8$. Resolvemos la desigualdad:
$-3x – 2 – x + 1 \leq 8$
$-4x – 1 \leq 8$
$-4x \leq 9$
$x \geq -\frac{9}{4}$
Entonces, combinando los casos, la solución de la inecuación es $-\frac{11}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$. Esto significa que el valor de $x$ debe estar dentro de este intervalo para que se cumpla la desigualdad $|3x + 2| + |x – 1| \leq 8$.
- |x^2 + 3x – 4| > 7
Para resolver la inecuación $|x^2 + 3x – 4| > 7$, vamos a considerar los diferentes casos según los valores dentro del valor absoluto.
1) Caso 1: $x^2 + 3x – 4 \geq 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $(x^2 + 3x – 4) > 7$. Resolvemos la desigualdad:
$x^2 + 3x – 4 > 7$
$x^2 + 3x – 11 > 0$
Esta desigualdad cuadrática se resuelve encontrando los puntos donde la función cambia de signo. En este caso, podemos factorizar la ecuación como:
$(x – 1)(x + 4) > 0$
La función cambia de signo en $x = -4$ y $x = 1$. Tomando puntos de prueba en los intervalos (-∞, -4), (-4, 1) y (1, +∞), podemos determinar los intervalos donde la desigualdad es verdadera. En este caso, la solución es $x < -4$ o $x > 1$.
2) Caso 2: $x^2 + 3x – 4 < 0$:
En este caso, la inecuación se convierte en $-(x^2 + 3x – 4) > 7$. Resolvemos la desigualdad:
$-x^2 – 3x + 4 > 7$
$-x^2 – 3x – 3 > 0$
Podemos factorizar esta desigualdad como:
$-(x + 3)(x – 1) > 0$
La función cambia de signo en $x = -3$ y $x = 1$. Tomando puntos de prueba en los intervalos (-∞, -3), (-3, 1) y (1, +∞), podemos determinar los intervalos donde la desigualdad es verdadera. En este caso, la solución es $-3 < x < 1$.
Entonces, combinando los casos, la solución de la inecuación es $x < -4$ o $x > 1$, o $-3 < x < 1$. Esto significa que el valor de $x$ debe estar fuera del intervalo (-4, 1) para que se cumpla la desigualdad $|x^2 + 3x – 4| > 7$.