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Los números reales son un conjunto numérico que incluye todos los números racionales e irracionales. Los números reales son utilizados en diversas ramas de las matemáticas y tienen una amplia aplicación en la vida cotidiana y en otras disciplinas.

El conjunto de los números reales se denota con el símbolo mathbb{R}. Los números reales se caracterizan por tener una representación decimal infinita o finita. Algunos ejemplos de números reales son: Números enteros: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, dots} Números racionales: números que se pueden expresar como fracciones, donde el numerador y el denominador son enteros, por ejemplo, -frac{1}{2}, frac{3}{4}, frac{5}{2}. Números irracionales: números que no se pueden expresar como fracciones exactas.

Algunos ejemplos famosos son pi (pi), e (número de Euler), sqrt{2} (raíz cuadrada de 2), etc. Los números reales tienen propiedades y operaciones que permiten realizar cálculos y resolver problemas matemáticos.

Algunas de las operaciones básicas que se pueden realizar con los números reales son: Suma (+) y resta (–): Operaciones para combinar o restar números reales. Multiplicación (times) y división (div): Operaciones para multiplicar o dividir números reales. Potenciación: Elevar un número real a una potencia, por ejemplo, 2^3 = 8. Radicación: Calcular la raíz cuadrada (sqrt{}) o cualquier otra raíz de un número real. Comparación: Comparar dos números reales utilizando los símbolos de mayor que (>), menor que (<) o igual que (=).

Los números reales forman una recta numérica continua, donde cada punto en la recta corresponde a un número real. Esta recta numérica permite representar y comparar los números reales de forma visual. La teoría de los números reales es fundamental en el análisis matemático, el cálculo, la geometría y otras ramas de las matemáticas.

Los números reales son utilizados para modelar y describir situaciones en física, economía, ciencias naturales y muchas otras disciplinas.

En resumen, los números reales constituyen un conjunto amplio y esencial en las matemáticas, abarcando tanto los números racionales como los irracionales y siendo fundamentales para el estudio y la comprensión de diversos fenómenos numéricos y matemáticos.

Ejercicios: Nivel 1

Recuerda aplicar las propiedades y reglas correspondientes a cada tipo de expresión (álgebraica, fraccional, radical, exponencial, valor absoluto) para simplificar y reducir la expresión lo más posible.

¡Diviértete resolviendo estos ejercicios de simplificación!

Simplifica la siguiente expresión algebraica

• 3x + 2y – (5x – y)

Solución

Para simplificar la expresión 3x + 2y – (5x – y) , podemos utilizar la regla de distribución y combinar términos semejantes. Aquí está el proceso paso a paso:

3x + 2y – (5x – y)
= 3x + 2y – 5x + y [eliminamos los paréntesis utilizando la regla de distribución]
= (3x – 5x) + (2y + y) [agrupamos los términos semejantes]
= -2x + 3y

Por lo tanto, la expresión simplificada es -2x + 3y .

Simplifica la siguiente expresión fraccional

• frac{2x^2 + 4xy}{x^2 – 3xy} div frac{6x^2}{2xy}

Solución

Para simplificar la expresión fraccional frac{2x^2 + 4xy}{x^2 – 3xy} div frac{6x^2}{2xy} , podemos simplificar tanto el numerador como el denominador por separado y luego dividirlos. Veamos el proceso paso a paso:

1. Simplificar el numerador:
Factorizamos el numerador 2x^2 + 4xy:
2x^2 + 4xy = 2x(x + 2y)

2. Simplificar el denominador:
Factorizamos el denominador x^2 – 3xy:
x^2 – 3xy = x(x – 3y)

3. Simplificar la fracción:
frac{2x(x + 2y)}{x(x – 3y)} div frac{6x^2}{2xy} 
 Simplificamos la fracción dividiendo por la fracción invertida:
frac{2x(x + 2y)}{x(x – 3y)} times frac{2xy}{6x^2} 
 Simplificamos los factores comunes:
frac{2(x + 2y)}{x – 3y} times frac{y}{3x} 
Cancelamos los factores comunes:
frac{2(x + 2y)}{(x – 3y)} times frac{y}{3x} = frac{2y(x + 2y)}{3x(x – 3y)}

Por lo tanto, la expresión fraccional simplificada es frac{2y(x + 2y)}{3x(x – 3y)} .

Simplifica la siguiente expresión radical

•  sqrt{12} times sqrt[3]{27} div sqrt{3}

Solución

Para simplificar la expresión radical sqrt{12} times sqrt[3]{27} div sqrt{3}, podemos aplicar las propiedades de los radicales. Veamos el proceso paso a paso:

1. Simplificar cada raíz por separado:
– Simplificamos sqrt{12}:
Como 12 se puede factorizar en 2 * 2 * 3, podemos escribir sqrt{12} = sqrt{2^2 times 3} = 2sqrt{3}.
– Simplificamos sqrt[3]{27}:
Sabemos que 27 es igual a 3^3, entonces sqrt[3]{27} = 3.

2. Reescribir la expresión con las raíces simplificadas:
sqrt{12} times sqrt[3]{27} div sqrt{3} = 2sqrt{3} times 3 div sqrt{3}.

3. Simplificar las raíces comunes:
La raíz cuadrada de 3 dividida por la raíz cuadrada de 3 es igual a 1, por lo que podemos simplificar:
2sqrt{3} times 3 div sqrt{3} = 2 times 3 = 6.

Por lo tanto, la expresión radical simplificada es 6.

Simplifica la siguiente expresión exponencial

•  left(frac{4}{5}right)^3 times left(frac{5}{4}right)^{-2}

Solución

Para simplificar la expresión exponencial left(frac{4}{5}right)^3 times left(frac{5}{4}right)^{-2}, podemos aplicar las propiedades de las potencias. Veamos el proceso paso a paso:

1. Simplificar cada potencia por separado:
– Simplificamos left(frac{4}{5}right)^3:
Para elevar un número fraccionario a una potencia, elevamos tanto el numerador como el denominador a esa potencia. Entonces, left(frac{4}{5}right)^3 = frac{4^3}{5^3} = frac{64}{125}.
– Simplificamos left(frac{5}{4}right)^{-2}:
Cuando un exponente es negativo, podemos invertir la fracción y cambiar el signo del exponente. Entonces, left(frac{5}{4}right)^{-2} = left(frac{4}{5}right)^{2} = frac{4^2}{5^2} = frac{16}{25}.

2. Reescribir la expresión con las potencias simplificadas:
left(frac{4}{5}right)^3 times left(frac{5}{4}right)^{-2} = frac{64}{125} times frac{16}{25}.

3. Multiplicar las fracciones:
Para multiplicar dos fracciones, simplemente multiplicamos los numeradores y los denominadores.
frac{64}{125} times frac{16}{25} = frac{64 times 16}{125 times 25} = frac{1024}{3125}.

Por lo tanto, la expresión exponencial simplificada es frac{1024}{3125}.

Simplifica la siguiente expresión con valor absoluto

• |2x – 3| + |3 – 5x|

Solución

Para simplificar la expresión con valor absoluto |2x – 3| + |3 – 5x|, debemos considerar los diferentes casos de signo de las expresiones dentro de los valores absolutos. Veamos el proceso paso a paso:

1. Considera el caso cuando 2x – 3 es positivo y 3 – 5x es positivo:
En este caso, no necesitamos hacer ningún cambio ya que los valores absolutos se mantienen igual:
|2x – 3| + |3 – 5x| = 2x – 3 + 3 – 5x = -3x

2. Considera el caso cuando 2x – 3 es positivo y 3 – 5x es negativo:
En este caso, necesitamos cambiar el signo de la expresión dentro del segundo valor absoluto:
|2x – 3| + |3 – 5x| = 2x – 3 – (3 – 5x) = 2x – 3 – 3 + 5x = 7x – 6

3. Considera el caso cuando 2x – 3 es negativo y 3 – 5x es positivo:
En este caso, necesitamos cambiar el signo de la expresión dentro del primer valor absoluto:
|2x – 3| + |3 – 5x| = -(2x – 3) + (3 – 5x) = -2x + 3 + 3 – 5x = -7x + 6

4. Considera el caso cuando 2x – 3 es negativo y 3 – 5x es negativo:
En este caso, necesitamos cambiar el signo de ambas expresiones dentro de los valores absolutos:
|2x – 3| + |3 – 5x| = -(2x – 3) – (3 – 5x) = -2x + 3 – 3 + 5x = 3x

Entonces, la expresión simplificada depende de los diferentes casos:
Cuando 2x – 3 y 3 – 5x tienen el mismo signo: la expresión simplificada es -3x.
Cuando 2x – 3 es positivo y 3 – 5x es negativo: la expresión simplificada es 7x – 6.
Cuando 2x – 3 es negativo y 3 – 5x es positivo: la expresión simplificada es -7x + 6.
 Cuando 2x – 3 y 3 – 5x tienen signos opuestos: la expresión simplificada es 3x.

Ejercicios: Nivel 2

Aquí tienes algunos ejercicios sobre números reales con un mayor nivel de dificultad:

Simplifica las siguientes expresiones

• sqrt{18} – sqrt{8}

Solución

Para simplificar la expresión sqrt{18} – sqrt{8}, podemos buscar factores cuadrados perfectos dentro de las raíces y simplificarlos. Veamos el proceso paso a paso:

1. Simplificar las raíces:
– Simplificamos la raíz cuadrada de 18:
Como 18 se puede factorizar en 2 * 3 * 3, podemos escribir sqrt{18} = sqrt{2^2 times 3^2} = 3sqrt{2}.
– Simplificamos la raíz cuadrada de 8:
Como 8 se puede factorizar en 2 * 2 * 2, podemos escribir sqrt{8} = sqrt{2^2 times 2} = 2sqrt{2}.

2. Reescribir la expresión con las raíces simplificadas:
sqrt{18} – sqrt{8} = 3sqrt{2} – 2sqrt{2}.

3. Combina los términos semejantes:
sqrt{18} – sqrt{8} = (3 – 2)sqrt{2} = sqrt{2}.

Por lo tanto, la expresión simplificada es sqrt{2}.

• (3 + sqrt{5})^2 – 2(sqrt{5} – 1)

Solución

Para simplificar la expresión (3 + sqrt{5})^2 – 2(sqrt{5} – 1), podemos expandir el cuadrado y realizar las operaciones necesarias. Veamos el proceso paso a paso:

1. Expande el cuadrado (3 + sqrt{5})^2:
(3 + sqrt{5})^2 = (3 + sqrt{5})(3 + sqrt{5}).
Utilizando la propiedad distributiva, tenemos:
(3 + sqrt{5})^2 = 3(3) + 3(sqrt{5}) + sqrt{5}(3) + sqrt{5}(sqrt{5}).
Simplificando, obtenemos:
(3 + sqrt{5})^2 = 9 + 3sqrt{5} + 3sqrt{5} + 5.
Simplificamos aún más:
(3 + sqrt{5})^2 = 14 + 6sqrt{5}.

2. Simplifica la expresión 2(sqrt{5} – 1):
Utilizando la propiedad distributiva, tenemos:
2(sqrt{5} – 1) = 2sqrt{5} – 2.

3. Reescribe la expresión con las simplificaciones realizadas:
(3 + sqrt{5})^2 – 2(sqrt{5} – 1) = 14 + 6sqrt{5} – 2sqrt{5} + 2.

4. Combina los términos semejantes:
(3 + sqrt{5})^2 – 2(sqrt{5} – 1) = 16 + 4sqrt{5}.

Por lo tanto, la expresión simplificada es 16 + 4sqrt{5}.

• frac{sqrt{27}}{sqrt{12}} cdot sqrt{48}

Solución

Para simplificar la expresión frac{sqrt{27}}{sqrt{12}} cdot sqrt{48}, podemos simplificar las raíces cuadradas y luego realizar la multiplicación. Veamos el proceso paso a paso:

1. Simplificar las raíces cuadradas:
– Simplificar la raíz cuadrada de 27:
Como 27 se puede factorizar en 3 * 3 * 3, podemos escribir sqrt{27} = sqrt{3^2 times 3} = 3sqrt{3}.
Simplificar la raíz cuadrada de 12:
Como 12 se puede factorizar en 2 * 2 * 3, podemos escribir sqrt{12} = sqrt{2^2 times 3} = 2sqrt{3}.

2. Reescribir la expresión con las raíces simplificadas:
frac{sqrt{27}}{sqrt{12}} cdot sqrt{48} = frac{3sqrt{3}}{2sqrt{3}} cdot sqrt{48}.

3. Simplificar las raíces cuadradas en el denominador:
Como tanto el numerador como el denominador tienen sqrt{3}, podemos cancelarlos:
frac{3cancel{sqrt{3}}}{2cancel{sqrt{3}}} cdot sqrt{48} = frac{3}{2} cdot sqrt{48}.

4. Simplificar la raíz cuadrada de 48:
Como 48 se puede factorizar en 2 * 2 * 2 * 2 * 3, podemos escribir sqrt{48} = sqrt{2^2 times 2^2 times 2 times 3} = 4sqrt{3}.

5. Realizar la multiplicación:
frac{3}{2} cdot sqrt{48} = frac{3}{2} cdot 4sqrt{3} = 6sqrt{3}.

Por lo tanto, la expresión simplificada es 6sqrt{3}.

Realiza las siguientes operaciones con números reales

• frac{5}{sqrt{3} + 1} + frac{sqrt{3}}{sqrt{3} – 1}

Solución

Para realizar las operaciones frac{5}{sqrt{3} + 1} + frac{sqrt{3}}{sqrt{3} – 1}, primero debemos simplificar las fracciones y luego sumarlas. Veamos el proceso paso a paso:

1. Simplificar las fracciones:
– Para la primera fracción, podemos eliminar el denominador racionalizando el numerador y el denominador:
frac{5}{sqrt{3} + 1} = frac{5}{sqrt{3} + 1} cdot frac{sqrt{3} – 1}{sqrt{3} – 1} = frac{5(sqrt{3} – 1)}{(sqrt{3} + 1)(sqrt{3} – 1)}.
Simplificamos aún más el denominador multiplicando los términos conjugados:
frac{5(sqrt{3} – 1)}{(sqrt{3})^2 – (1)^2} = frac{5(sqrt{3} – 1)}{3 – 1} = frac{5(sqrt{3} – 1)}{2} = frac{5sqrt{3} – 5}{2}.
– Para la segunda fracción, podemos hacer lo mismo:
frac{sqrt{3}}{sqrt{3} – 1} = frac{sqrt{3}}{sqrt{3} – 1} cdot frac{sqrt{3} + 1}{sqrt{3} + 1} = frac{sqrt{3}(sqrt{3} + 1)}{(sqrt{3} – 1)(sqrt{3} + 1)}.
Simplificamos el denominador multiplicando los términos conjugados:
frac{sqrt{3}(sqrt{3} + 1)}{(sqrt{3})^2 – (1)^2} = frac{sqrt{3}(sqrt{3} + 1)}{3 – 1} = frac{sqrt{3}(sqrt{3} + 1)}{2} = frac{3 + sqrt{3}}{2}.

2. Sumar las fracciones:
frac{5sqrt{3} – 5}{2} + frac{3 + sqrt{3}}{2}.
Para sumar las fracciones, necesitamos tener un denominador común, que en este caso es 2. Sumamos los numeradores:
frac{(5sqrt{3} – 5) + (3 + sqrt{3})}{2} = frac{5sqrt{3} – 5 + 3 + sqrt{3}}{2}.
Simplificamos los términos semejantes:
frac{6sqrt{3} – 2}{2} = 3sqrt{3} – 1.

Por lo tanto, el resultado de la operación es 3sqrt{3} – 1.

• left(frac{1}{sqrt{2}} – frac{sqrt{2}}{2}right)^2 + left(frac{sqrt{2}}{2} – frac{1}{sqrt{2}}right)^2

Solución

Para realizar las operaciones left(frac{1}{sqrt{2}} – frac{sqrt{2}}{2}right)^2 + left(frac{sqrt{2}}{2} – frac{1}{sqrt{2}}right)^2, podemos simplificar las fracciones y luego calcular las operaciones de potenciación y suma. Veamos el proceso paso a paso:

1. Simplificar las fracciones:
– Para la primera fracción:
frac{1}{sqrt{2}} – frac{sqrt{2}}{2} = frac{1}{sqrt{2}} – frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{1}{sqrt{2}} – frac{sqrt{2} cdot sqrt{2}}{2 cdot sqrt{2}} = frac{1}{sqrt{2}} – frac{2}{2} = frac{1}{sqrt{2}} – 1.
– Para la segunda fracción:
frac{sqrt{2}}{2} – frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} – frac{1}{sqrt{2}} cdot frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} – frac{sqrt{2} cdot sqrt{2}}{2 cdot sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} – frac{2}{2} = frac{sqrt{2}}{2} – 1.

2. Calcular las operaciones de potenciación:
left(frac{1}{sqrt{2}} – 1right)^2 + left(frac{sqrt{2}}{2} – 1right)^2.
– Para el primer término:
left(frac{1}{sqrt{2}} – 1right)^2 = left(frac{1}{sqrt{2}} – 1right) cdot left(frac{1}{sqrt{2}} – 1right) = frac{1}{2} – sqrt{2} + 1.
– Para el segundo término:
left(frac{sqrt{2}}{2} – 1right)^2 = left(frac{sqrt{2}}{2} – 1right) cdot left(frac{sqrt{2}}{2} – 1right) = frac{2}{4} – sqrt{2} + 1.

3. Simplificar los términos:
frac{1}{2} – sqrt{2} + 1 + frac{2}{4} – sqrt{2} + 1.
– Simplificar los términos numéricos:
frac{1}{2} + 1 + frac{1}{2} + 1 = frac{3}{2} + frac{3}{2} = 3.
– Simplificar los términos con sqrt{2}:
-sqrt{2} – sqrt{2} = -2sqrt{2}.

4. Sumar los términos simplificados:
3 – 2sqrt{2}.

Por lo tanto

• frac{sqrt{5} – sqrt{2}}{sqrt{5} + sqrt{2}} cdot frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} – sqrt{6}}

Solución

Para calcular la expresión frac{sqrt{5} – sqrt{2}}{sqrt{5} + sqrt{2}} cdot frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} – sqrt{6}}, vamos a simplificar las fracciones y luego realizar la multiplicación.

Comencemos simplificando las fracciones de la siguiente manera:

frac{sqrt{5} – sqrt{2}}{sqrt{5} + sqrt{2}} cdot frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} – sqrt{6}}

Para simplificar estas fracciones, multiplicaremos el numerador y el denominador de ambas fracciones por el conjugado del denominador respectivo. Veamos el proceso paso a paso:

1. Simplificar la primera fracción:

frac{sqrt{5} – sqrt{2}}{sqrt{5} + sqrt{2}} cdot frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} – sqrt{6}}

Multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por el conjugado del denominador sqrt{5} + sqrt{2}:

frac{(sqrt{5} – sqrt{2})(sqrt{5} + sqrt{2})}{(sqrt{5} + sqrt{2})(sqrt{5} + sqrt{2})} cdot frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} – sqrt{6}}

Simplificamos el denominador multiplicando los términos conjugados:

frac{(sqrt{5})^2 – (sqrt{2})^2}{5 – 2} cdot frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} – sqrt{6}}

Obtenemos:

frac{5 – 2}{3} cdot frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} – sqrt{6}} = frac{3}{3} cdot frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} – sqrt{6}} = frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} – sqrt{6}}

2. Simplificar la segunda fracción:

frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} – sqrt{6}}

Multiplicamos el numerador y el denominador de la segunda fracción por el conjugado del denominador sqrt{3} + sqrt{6}:

frac{(sqrt{3} + sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})}{(sqrt{3} – sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})}

Simplificamos el denominador multiplicando los términos conjugados:

frac{(sqrt{3})^2 + (sqrt{6})^2}{3 – 6} = frac{3 + 6}{-3} = -3

Por lo tanto, la expresión simplificada es -3.

Resuelve las siguientes ecuaciones

• x^2 – 5x + 6 = 0

Solución

Para resolver la ecuación cuadrática x^2 – 5x + 6 = 0, podemos utilizar el método de factorización, la fórmula cuadrática o completar el cuadrado. En este caso, utilizaremos el método de factorización.

1. Escribimos la ecuación en la forma ax^2 + bx + c = 0:
x^2 – 5x + 6 = 0.

2. Buscamos dos números que sumen -5 (coeficiente de x) y que al multiplicarse den 6 (término constante). En este caso, los números son -2 y -3, ya que -2 + (-3) = -5 y (-2) * (-3) = 6.

3. Escribimos la ecuación en forma factorizada utilizando los números encontrados:
(x – 2)(x – 3) = 0.

4. Aplicamos la propiedad de anulación del producto:
x – 2 = 0 o x – 3 = 0.

5. Resolvemos cada ecuación lineal obtenida:
x – 2 = 0 ⇒ x = 2,
x – 3 = 0 ⇒ x = 3.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática x^2 – 5x + 6 = 0 son x = 2 y x = 3.

• 2x^2 + 3x – 2 = 0

Solución

Para resolver la ecuación cuadrática  2x^2 + 3x – 2 = 0, podemos utilizar el método de factorización, la fórmula cuadrática o completar el cuadrado. En este caso, utilizaremos la fórmula cuadrática.

La fórmula cuadrática nos dice que las soluciones de una ecuación cuadrática de la forma ax^2 + bx + c = 0 se pueden encontrar utilizando la siguiente fórmula:

x = frac{-b pm sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

En nuestra ecuación 2x^2 + 3x – 2 = 0, tenemos  a = 2, b = 3 y c = -2. Sustituyendo estos valores en la fórmula cuadrática, obtenemos:

x = frac{-3 pm sqrt{3^2 – 4 cdot 2 cdot (-2)}}{2 cdot 2}

Simplificando la expresión dentro de la raíz cuadrada:

x = frac{-3 pm sqrt{9 + 16}}{4}
x = frac{-3 pm sqrt{25}}{4}
x = frac{-3 pm 5}{4}

Esto nos da dos soluciones:

x_1 = frac{-3 + 5}{4} = frac{2}{4} = frac{1}{2}
x_2 = frac{-3 – 5}{4} = frac{-8}{4} = -2

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática 2x^2 + 3x – 2 = 0 son x = frac{1}{2} y x = -2.

• sqrt{x – 1} = 3

Solución

Para resolver la ecuación sqrt{x – 1} = 3, debemos eliminar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación, obtenemos:

(sqrt{x – 1})^2 = 3^2

x – 1 = 9

Ahora, resolvemos para x:

x = 9 + 1

x = 10

Por lo tanto, la solución de la ecuación sqrt{x – 1} = 3 es x = 10.

Resuelve las siguientes inecuaciones

• x^2 – 4x > 3

Solución

Para resolver la desigualdad x^2 – 4x > 3 , vamos a encontrar los valores de x  que satisfacen la desigualdad.

1. Comenzamos por igualar la desigualdad a cero:

x^2 – 4x – 3 > 0

2. Factorizamos la expresión cuadrática:

(x – 3)(x + 1) > 0

3. Determinamos los intervalos donde la expresión es mayor que cero utilizando el método de los signos. Tomamos los valores críticos x = -1 y x = 3  y evaluamos la expresión en intervalos:

– Si x < -1 , ambos factores son negativos, por lo que el producto es positivo: ( – ) cdot ( – ) = + .
– Si -1 < x < 3 , el primer factor es negativo y el segundo factor es positivo, por lo que el producto es negativo: ( – ) cdot ( + ) = – .
– Si x > 3 , ambos factores son positivos, por lo que el producto es positivo: ( + ) cdot ( + ) = + .

4. Basándonos en el análisis de los signos, encontramos que la desigualdad x^2 – 4x – 3 > 0  es verdadera para x < -1 o x > 3 .

Por lo tanto, la solución de la desigualdad x^2 – 4x > 3  es x < -1  o x > 3 .

• frac{1}{x} – frac{2}{x-1} leq 0

Solución

Para resolver la desigualdad frac{1}{x} – frac{2}{x-1} leq 0 , vamos a encontrar los valores de x que satisfacen la desigualdad.

Primero, necesitamos encontrar el dominio de la expresión. Dado que hay denominadores en la expresión, debemos asegurarnos de que los denominadores no sean cero. Por lo tanto, el dominio de la expresión es x neq 0 y x neq 1 .

Ahora, procedemos a resolver la desigualdad:

1. Encontramos un común denominador para las fracciones:

frac{1}{x} – frac{2}{x-1} leq 0

Multiplicamos la primera fracción por frac{x-1}{x-1}  y la segunda fracción por frac{x}{x} :

frac{(x-1)}{x(x-1)} – frac{2x}{x(x-1)} leq 0

2. Simplificamos la expresión:

frac{x-1 – 2x}{x(x-1)} leq 0

frac{-x-1}{x(x-1)} leq 0

3. Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por -1 para cambiar el sentido de la desigualdad:

frac{x+1}{x(x-1)} geq 0

4. Ahora, analizamos los intervalos donde la expresión es mayor o igual a cero utilizando el método de los signos y los puntos críticos x = -1 , x = 0  y x = 1 :

– Si (x < -1), los factores son negativos, por lo que el cociente es positivo: (( – ) cdot ( – ) cdot ( – ) = +).
– Si (-1 < x < 0), el primer factor es positivo y los otros dos factores son negativos, por lo que el cociente es negativo: (( + ) cdot ( – ) cdot ( – ) = -).
– Si (0 < x < 1), los dos primeros factores son positivos y el último factor es negativo, por lo que el cociente es positivo: (( + ) cdot ( + ) cdot ( – ) = -).
– Si (x > 1), todos los factores son positivos, por lo que el cociente es positivo: (( + ) cdot ( + ) cdot ( + ) = +).

5. Basándonos en el análisis de los signos, encontramos que la desigualdad (frac{1}{x} – frac{2}{x-1} leq 0) es verdadera para (x < -1) y (0 < x < 1).

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es (x < -1) y (0 < x < 1), en el dominio (x neq 0) y (x neq 1).

• sqrt{x – 3} + sqrt{x + 1} < 4

Solución

Para resolver la desigualdad sqrt{x – 3} + sqrt{x + 1} < 4 , vamos a encontrar los valores de x que satisfacen la desigualdad.

Dado que tenemos raíces cuadradas en la expresión, debemos asegurarnos de que los radicandos sean no negativos:

begin{cases} x – 3 geq 0 \ x + 1 geq 0 end{cases}

Resolvemos las desigualdades:

x geq 3  (1)

x geq -1  (2)

Ahora, procedemos a resolver la desigualdad original:

sqrt{x – 3} + sqrt{x + 1} < 4

Restamos sqrt{x + 1}  de ambos lados de la desigualdad:

sqrt{x – 3} < 4 – sqrt{x + 1}

Elevamos al cuadrado ambos lados de la desigualdad (recordando que debemos considerar el signo de las raíces):

x – 3 < (4 – sqrt{x + 1})^2

Simplificamos:

x – 3 < 16 – 8sqrt{x + 1} + x + 1

Eliminamos los términos semejantes:

-4 < -8sqrt{x + 1}

Dividimos por -8 (recordando que debemos cambiar el sentido de la desigualdad al dividir por un número negativo):

frac{1}{2} > sqrt{x + 1}

Elevamos al cuadrado ambos lados de la desigualdad (recordando que debemos considerar el signo de las raíces):

left(frac{1}{2}right)^2 > (sqrt{x + 1})^2

(frac{1}{4} > x + 1)

Restamos 1 de ambos lados de la desigualdad:

-frac{3}{4} > x

Sin embargo, debemos tener en cuenta las restricciones de los radicandos:

De la desigualdad (1), sabemos que x geq 3 , y de la desigualdad (2), sabemos que x geq -1 .

Por lo tanto, la solución para la desigualdad sqrt{x – 3} + sqrt{x + 1} < 4  es:

-1 leq x < frac{1}{4} , cumpliendo las restricciones adicionales x geq 3  y x geq -1 .

Calcula el valor exacto de los siguientes números irracionales

• sqrt{10} + sqrt{8}

Solución

Para calcular el valor de la expresión sqrt{10} + sqrt{8} , simplemente reemplazamos las raíces cuadradas por sus valores correspondientes:

sqrt{10} + sqrt{8} = sqrt{10} + sqrt{4 cdot 2}

Usamos la propiedad de la raíz cuadrada que nos permite separar la raíz de un producto:

sqrt{10} + sqrt{4} cdot sqrt{2}

Simplificamos la raíz cuadrada de 4:

sqrt{10} + 2 cdot sqrt{2}

No podemos simplificar más la expresión, por lo que el resultado final es:

sqrt{10} + sqrt{8} = sqrt{10} + 2sqrt{2}

• frac{sqrt{3}}{sqrt{2} – 1}

Solución

Para simplificar la expresión frac{sqrt{3}}{sqrt{2} – 1} , vamos a eliminar el radical del denominador multiplicando tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, que en este caso es sqrt{2} + 1 :

frac{sqrt{3}}{sqrt{2} – 1} cdot frac{sqrt{2} + 1}{sqrt{2} + 1}

Al multiplicar los términos, utilizamos la propiedad del conjugado, que nos permite eliminar los radicales en el denominador:

frac{sqrt{3}(sqrt{2} + 1)}{(sqrt{2} – 1)(sqrt{2} + 1)}

Simplificamos el denominador aplicando la diferencia de cuadrados:

frac{sqrt{3}(sqrt{2} + 1)}{2 – 1}

Simplificamos el denominador:

frac{sqrt{3}(sqrt{2} + 1)}{1}

Finalmente, obtenemos:

frac{sqrt{3}(sqrt{2} + 1)}{1} = sqrt{3}(sqrt{2} + 1) = sqrt{6} + sqrt{3}

• sqrt{7} cdot sqrt{28} – sqrt{14}

Solución

Para simplificar la expresión sqrt{7} cdot sqrt{28} – sqrt{14} , primero vamos a simplificar las raíces cuadradas:

sqrt{7} cdot sqrt{28} – sqrt{14} = sqrt{7} cdot sqrt{4 cdot 7} – sqrt{14}

Usamos la propiedad de la raíz cuadrada que nos permite separar la raíz de un producto:

sqrt{7} cdot sqrt{4} cdot sqrt{7} – sqrt{14}

Simplificamos la raíz cuadrada de 4:

sqrt{7} cdot 2 cdot sqrt{7} – sqrt{14}

Multiplicamos los términos:

2sqrt{7} cdot sqrt{7} – sqrt{14}

Simplificamos la multiplicación de raíces cuadradas:

2 cdot 7 – sqrt{14}

Realizamos la multiplicación:

14 – sqrt{14}

Por lo tanto, la simplificación de la expresión sqrt{7} cdot sqrt{28} – sqrt{14}  es 14 – sqrt{14} .