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Un espacio topológico es una pareja ordenada (X, T), donde X es un conjunto no vacío y T es una colección de subconjuntos de X que cumple tres condiciones:
- T contiene al conjunto vacío y a X mismo.
- T es cerrado bajo intersecciones finitas, es decir, si A y B son subconjuntos de X y ambos están en T, entonces su intersección A \cap B también está en T.
T es cerrado bajo uniones arbitrarias, es decir, si \{U_{\alpha}\} es una colección de subconjuntos de X, donde cada U_{\alpha} está en T, entonces la unión de todos los U_{\alpha} también está en T.
Los conjuntos en T se llaman conjuntos abiertos y la colección T se denomina topología en X. Los conjuntos que no están en T se consideran conjuntos cerrados.
Tipos de topológias
Dado un conjunto X, la topología discreta en X es aquella en la que todos los subconjuntos de X son abiertos. En otras palabras, la colección de todos los subconjuntos de X forma la topología discreta en X.
Para denotar la topología discreta en X es \mathcal{T}_d, donde \mathcal{T}_d = 2^X representa el conjunto potencia de X. En esta topología, todos los puntos de X son conjuntos abiertos individuales, y cualquier combinación de subconjuntos de X también es un conjunto abierto.
Dado un conjunto X, la topología indiscreta en X es aquella en la que solo existen dos conjuntos abiertos: el conjunto vacío \emptyset y el conjunto completo X mismo. En otras palabras, la única topología indiscreta en X es \mathcal{T}_i = \{\emptyset, X\}.
En esta topología, tanto el conjunto vacío como el conjunto completo son considerados abiertos, mientras que cualquier otro subconjunto de X es considerado no abierto (es decir, es cerrado o no está en la topología). La topología indiscreta es la topología más gruesa.
Dado un conjunto X, la topología de complementos finitos en X es aquella en la que un subconjunto de X es abierto si y solo si su complemento es finito o es igual a todo X. Formalmente, la topología de complementos finitos se define como \mathcal{T}_f = \{U \subseteq X : X – U \text{ es finito o } X – U = \emptyset\}.
En esta topología, los conjuntos abiertos son aquellos cuyos complementos son finitos o son iguales a todo X. Esto implica que cualquier subconjunto finito de X es abierto, así como el conjunto vacío. Sin embargo, si un subconjunto tiene una cantidad infinita de elementos, su complemento será finito y, por lo tanto, no será abierto.
1. Topología más fina: Dadas dos topologías en un mismo conjunto, se dice que una topología \mathcal{T}_1 es más fina que otra topología \mathcal{T}_2 si cada conjunto abierto en \mathcal{T}_2 también es un conjunto abierto en \mathcal{T}_1. En otras palabras, todos los conjuntos abiertos en \mathcal{T}_2 están contenidos en \mathcal{T}_1. Se puede denotar como \mathcal{T}_1 \subseteq \mathcal{T}_2.
2. Topología más gruesa: Dadas dos topologías en un mismo conjunto, se dice que una topología \mathcal{T}_1 es más gruesa que otra topología \mathcal{T}_2 si cada conjunto abierto en \mathcal{T}_1 también es un conjunto abierto en \mathcal{T}_2. En otras palabras, todos los conjuntos abiertos en \mathcal{T}_1 están contenidos en \mathcal{T}_2. Se puede denotar como \mathcal{T}_1 \supseteq \mathcal{T}_2.
3. Topologías comparables: Dadas dos topologías en un mismo conjunto, se dice que dos topologías son comparables si una es más fina o más gruesa que la otra, es decir, si \mathcal{T}_1 \subseteq \mathcal{T}_2 o \mathcal{T}_1 \supseteq \mathcal{T}_2. Esto implica que todos los conjuntos abiertos en una topología estarán contenidos en la otra topología.
Base de una topologia
Dada una topología \mathcal{T} en un conjunto X, una base para \mathcal{T} es una colección \mathcal{B} de subconjuntos de X con las siguientes dos propiedades:
1. Cobertura de X: La unión de todos los elementos de \mathcal{B} es igual a X. En otras palabras, \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B = X.
2. Compatibilidad de intersecciones: Para cualquier par de conjuntos B_1, B_2 \in \mathcal{B} y cualquier punto x que pertenezca a la intersección B_1 \cap B_2, existe un elemento B_3 en \mathcal{B} tal que x pertenece a B_3 y B_3 está contenido en la intersección B_1 \cap B_2.
En otras palabras, para cada punto x que pertenezca a la intersección de dos conjuntos de la base, debe existir otro conjunto de la base que contenga x y esté completamente contenido en la intersección.
La base de una topología es esencial para caracterizar la topología y describir todos los conjuntos abiertos en términos de los elementos de la base. En particular, cualquier conjunto abierto de la topología se puede expresar como una unión de elementos de la base.
La base de una topología proporciona una forma más manejable de describir la topología, ya que no es necesario especificar todos los conjuntos abiertos individualmente, sino solo los elementos de la base que los generan.
Sub base de una topológia
Dada una topología \mathcal{T} en un conjunto X, una base para \mathcal{T} es una colección \mathcal{B} de subconjuntos de X con las siguientes dos propiedades:
1. Cobertura de X: La unión de todos los elementos de \mathcal{B} es igual a X. En otras palabras, \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B = X.
2. Compatibilidad de intersecciones: Para cualquier par de conjuntos B_1, B_2 \in \mathcal{B} y cualquier punto x que pertenezca a la intersección B_1 \cap B_2, existe un elemento B_3 en \mathcal{B} tal que x pertenece a B_3 y B_3 está contenido en la intersección B_1 \cap B_2.
En otras palabras, para cada punto x que pertenezca a la intersección de dos conjuntos de la base, debe existir otro conjunto de la base que contenga x y esté completamente contenido en la intersección.
La base de una topología es esencial para caracterizar la topología y describir todos los conjuntos abiertos en términos de los elementos de la base. En particular, cualquier conjunto abierto de la topología se puede expresar como una unión de elementos de la base.
La base de una topología proporciona una forma más manejable de describir la topología, ya que no es necesario especificar todos los conjuntos abiertos individualmente, sino solo los elementos de la base que los generan.